송천지구 고3수학과외

정답에서 거꾸로 따라간 이항계수의 첫 갈림길

문제는 남학생 5명과 여학생 4명 중 3명을 뽑을 때 여학생이 적어도 1명 포함되는 경우의 수를 구하는 것이었다. 학생은 답을 84라고 적었지만, 계산 자체는 틀리지 않았다. 전체 선택을 ₉C₃, 여학생이 한 명도 없는 선택을 ₅C₃로 두어 84를 얻은 뒤였다.

오류는 그보다 앞선 줄에 있었다. 학생은 문제의 ‘적어도 한 명’을 읽고 곧바로 여학생 1명을 고르는 ₄C₁을 적었다. 그 다음 남은 두 자리를 남학생으로 채우려 했지만, 여학생이 2명 또는 3명인 경우를 놓쳤다. 즉, 뒤의 곱셈과 뺄셈은 일정했으나 처음에 조건을 처리하는 방식이 문제의 전체 경우를 보장하지 못했다.

답안의 첫 판단을 역으로 복원하기

오답을 지우지 않고, 정답에 이르는 줄을 거꾸로 읽게 했다. 먼저 84가 어떤 식에서 나왔는지 확인하자 학생은 ₉C₃-₅C₃를 찾아냈다. 그 식은 ‘전체에서 여학생이 0명인 경우를 제외한다’는 뜻이므로 조건을 정확히 반영한다. 반면 처음 적은 ₄C₁은 여학생을 정확히 한 명 뽑는 경우에만 해당한다. 학생은 계산 결과가 맞는지보다, 각 이항계수가 어떤 선택조건을 뜻하는지 먼저 설명해야 했다.

중간식 한 줄을 가린 뒤에는 더 분명한 차이가 드러났다. 학생은 가려진 부분에 ‘여학생이 1명’이라고 썼다가, 원래 조건인 ‘적어도 1명’과 다르다는 사실을 스스로 표시했다. 이후 선택조건과 경우수를 분리해 적었다. 이항계수는 특정 인원을 고르는 방법의 수이고, 경우의 수의 합이나 차는 조건에 따라 여러 선택을 묶는 과정이라는 구분을 답안 옆에 남겼다.

파스칼 공식과 인접한 수를 혼동하지 않기

이어 ₉C₃를 파스칼 삼각형에서 찾게 했다. 학생은 처음에 ₉C₂+₉C₃처럼 인접한 값을 단순히 더하면 된다고 생각했지만, 파스칼 공식은 ₙCᵣ=ₙ₋₁Cᵣ₋₁+ₙ₋₁Cᵣ처럼 위의 두 항의 첨자가 함께 줄어드는 관계임을 확인했다. 따라서 ₉C₃=₈C₂+₈C₃이고, ₉C₂와 ₉C₃의 합으로 바꾸는 것은 같은 항등식이 아니다.

계산을 다시 한 뒤에는 대칭성 ₉C₃=₉C₆도 확인했다. 다만 대칭성은 값을 바꾸어 계산하는 도구일 뿐 조건을 해석해 주지는 않는다. ₄C₁을 ₄C₃로 바꾸어도 ‘여학생을 정확히 1명’이라는 조건 자체가 ‘적어도 1명’으로 바뀌지는 않는다. 이 구분을 위해 학생은 각 이항계수 옆에 ‘누구를 몇 명 선택하는가’를 짧게 기록했다.

조건의 제시 순서를 뒤집은 문제

독립 적용에서는 숫자만 바꾸지 않고 조건의 위치를 바꾸었다. 남학생 6명, 여학생 5명 중 4명을 뽑되, 남학생이 적어도 1명인 경우를 구하는 문제를 제시했다. 학생은 이번에는 여학생만으로 구성된 경우를 먼저 제외하여

₁₁C₄-₅C₄=330-5=325

라고 정리했다. ‘남학생을 한 명 이상 뽑는다’는 조건을 정확히 한 명으로 좁히지 않고, 전체에서 남학생이 0명인 경우를 제거한 것이다. 이어 같은 문제를 남학생 수에 따라 나누어 ₆C₁·₅C₃+₆C₂·₅C₂+₆C₃·₅C₁+₆C₄로 나타내어 두 풀이가 같은 의미인지 대조했다. 첫 방식은 여집합, 두 번째 방식은 경우 분할이지만, 어느 쪽도 조건을 빠뜨리지 않는다.

이번에는 오답 풀이 두 개를 함께 보여 주었다. 하나는 ₆C₁·₅C₃만 계산한 풀이였고, 다른 하나는 ₁₁C₄-₆C₄였다. 학생은 두 번째 풀이가 여학생이 4명 모두인 경우를 빼고 있으므로 틀렸다고 설명했다. 조건이 ‘남학생이 적어도 1명’이므로 제외해야 할 것은 남학생이 0명인 경우, 즉 ₅C₄이다.

다음 날의 무표시 재풀이

다음 날에는 표시와 힌트를 모두 가린 새 문제를 주었다. 7명의 개발자와 3명의 디자이너 중 4명을 선택하되 디자이너가 적어도 2명인 경우였다. 학생은 먼저 디자이너 수를 2명과 3명으로 나누어

₃C₂·₇C₂+₃C₃·₇C₁=63+7=70

이라고 적었다. 처음부터 ₁₀C₄를 쓰지 않은 이유도 설명했다. 전체 선택에서 디자이너가 0명 또는 1명인 경우를 빼는 방법도 가능하지만, 이번 조건은 허용되는 디자이너 수가 두 가지뿐이어서 직접 분할이 더 즉각적이라는 판단이었다.

마지막으로 ‘디자이너가 적어도 1명’으로 조건을 바꾸자 학생은 같은 식을 복사하지 않고 ₁₀C₄-₇C₄로 전환했다. 각 항 옆에 조건을 적고, ₁₀C₄=210, ₇C₄=35를 계산해 175를 얻었다. 이어 디자이너 수별 합이 ₃C₁·₇C₃+₃C₂·₇C₂+₃C₃·₇C₁=105+63+7=175인지 확인했다. 오류가 시작된 줄을 찾고, 그 줄의 이항계수가 실제 조건을 나타내는지 점검하는 습관이 새로운 수치와 다른 풀이에서도 유지되었다.