송천지구 고2수학과외







서로 다른 번호의 항을 더한 순간
서술형 답안에는 \(a_3+b_4\)를 계산해 새 수열의 네 번째 항을 구했다는 풀이가 적혀 있었다. 그러나 항별 합에서는 같은 인덱스의 항을 대응시켜야 하므로, 이 식은 \(c_4\)를 나타내지 않는다.
인덱스 대응 확인
두 수열 \(a_n\), \(b_n\)으로 새 수열 \(c_n\)을 만들 때 항별 합은
\[ c_n=a_n+b_n \]
이다. 따라서
\[ c_4=a_4+b_4 \]
처럼 번호가 같아야 한다. 항의 값이 비슷해 보여도 인덱스가 다르면 다른 항을 계산한 것이다.
등차수열과 등비수열을 결합한 계산
등차수열 \(a_n=3n-1\), 등비수열 \(b_n=2^{n-1}\)에 대하여 \(c_n=a_n+b_n\)일 때 \(c_4\)를 구해 보자.
일반항에서 네 번째 항까지
\[ a_4=3\cdot4-1=11 \]
\[ b_4=2^{4-1}=8 \]
그러므로
\[ c_4=a_4+b_4=11+8=19 \]
정답은 \(19\)이다.
틀린 풀이와 바른 풀이 비교
| 구분 | 식 | 판정 |
|---|---|---|
| 잘못된 풀이 | \(a_3+b_4\) | 서로 다른 번호를 대응시킴 |
| 바른 풀이 | \(a_4+b_4\) | 같은 번호의 항을 더함 |
다음 문제에서의 점검 순서
항별 합이나 항별 차를 구할 때는 먼저 새 수열의 정의를 식으로 적는다. \(c_n=a_n+b_n\), \(d_n=a_n-b_n\)처럼 표현한 뒤, 요구된 \(n\)을 두 일반항에 모두 대입하면 인덱스 오류를 줄일 수 있다.
송천지구과외에서는 계산보다 먼저 항의 대응 관계를 확인하도록 하여, 등차수열과 등비수열이 함께 나오는 서술형 문제에서도 풀이의 구조를 놓치지 않게 연습할 수 있다.