송천지구 고1수학과외







송천지구고1수학과외, 유리함수 그래프의 위치를 바꾼 한 줄
송천지구에서 공부하던 학생은 유리함수의 그래프를 빠르게 그리려 했지만, 식을 기본형으로 정리하는 과정에서 계수를 잘못 합쳤다. 계산 자체는 이어졌으나 점근선과 그래프의 위치가 실제 식과 달라졌다.
계수 정리 뒤 그래프가 어긋난 이유
학생이 다룬 식은 다음과 같았다.
f(x) = (2x+1)/(x-2)
학생은 이를 2+1/(x-2)로 적고 수직선에 x=2만 표시했다. 그러나 분자를 나누어 보면
2x+1 = 2(x-2)+5
이므로 정확한 기본형은
f(x) = 2 + 5/(x-2)
이다. 상수항을 잘못 정리한 것이 중심 오류였고, 그 결과 수평점근선도 y=1로 잘못 판단했다.
기본형을 먼저 보존하는 풀이 순서
계산 중간에 분자와 분모의 관계를 임의로 합치지 않고, 나눗셈 결과를 한 줄씩 보존하게 했다. 이후 x=2에서는 분모가 0이 되므로 정의되지 않는다는 점을 먼저 적고, 기본형의 상수항 2를 수평점근선으로 연결했다.
- 수직점근선: x=2
- 수평점근선: y=2
- 분수항의 부호에 따라 두 그래프 조각의 위치 판단
이 순서를 지키자 그래프 모양을 외워서 그리는 대신 식의 각 항이 어떤 역할을 하는지 확인할 수 있었다.
질문이 바뀌어도 조건을 유지한 적용
다음에는 식이 분수식으로 주어지지 않고,
f(x)=3-4/(x+1)
처럼 이미 기본형으로 제시된 문제를 풀었다. 이번에는 그래프를 그리는 대신 정의역과 치역을 묻는 방식이었다. x=-1은 제외되고, 분수항은 0이 될 수 없으므로 y=3도 제외된다고 정리했다. 표현과 질문은 달라졌지만, 분모가 0이 되는 값과 기본형의 상수항을 각각 조건으로 남겼다.
처음 보는 식에서 결과를 되짚다
마지막에는
g(x)=(5x-6)/(x-1)
을 직접 나누어 g(x)=5-1/(x-1)로 바꾼 뒤, x=0을 대입해 원식과 변형식의 값이 모두 6인지 확인했다. 이어 x=1은 두 식 모두 정의되지 않음을 확인해 변형 과정에서 정의역 조건이 사라지지 않았는지도 점검했다.
송천지구고1수학과외 학습에서는 정답 그래프를 맞히는 것보다, 기본형으로 바꾼 식과 정의역 조건이 끝까지 보존되는지를 확인하는 데 초점을 두었다.