대전동구 중2수학과외

거꾸로 읽어 찾은 일차부등식의 첫 오류

대전동구의 리더스시티5단지와 신흥 SK뷰아파트가 있는 생활권, 충남중학교가 포함된 주변에서 진행한 중2수학과외 수업에서 학생은 일차부등식 풀이 기록을 펼쳤다. 문제는 3(2x-1)-4≤2x+9를 푸는 것이었다. 학생은 답을 이미 적어 두었지만, 선생님은 정답보다 풀이가 처음 갈라진 지점을 찾기 위해 완성된 줄을 아래에서 위로 읽게 했다.

답에서 출발해 풀이를 역추적하다

학생은 마지막 줄의 x≤4를 보고 경계값 4를 원래 부등식에 넣었다. 왼쪽은 3(8-1)-4=17, 오른쪽은 17이 되어 등호가 성립했다. 이어 x=5를 넣어 왼쪽 23, 오른쪽 19가 되므로 부등식이 성립하지 않는 것도 확인했다. 답의 경계와 바깥쪽 값을 검산한 뒤, 학생은 바로 앞줄에 적힌 4x-7≤2x+9를 가리켰다.

그다음 줄은 4x-2x≤9-7, 즉 2x≤2였고, 이 계산 자체는 맞았다. 학생은 각 줄의 부호를 표시하며 위로 올라갔다. 원래 식을 전개한 6x-3-4≤2x+9에서 6x-7≤2x+9로 바뀐 부분도 정확했다.

“답이 틀어진 순간은 마지막 계산이 아니라, 항을 반대편으로 보낼 때 부호를 바꿔야 한다는 판단을 놓친 줄일 수 있어.”

실제로 학생의 다른 풀이 메모에는 5x-12≤3x+4에서 상수항 4를 왼쪽으로 옮기며 5x-3x≤-12+4라고 쓴 흔적이 있었다. 이때 4를 왼쪽으로 옮길 때 -4가 되어야 하는데, 학생은 숫자만 이동시키고 부호는 그대로 두었다. 뒤에서 계산을 고치는 것보다 이 최초의 선택을 찾아내는 것이 핵심이었다.

한 줄만 바로잡고 나머지는 유지하기

학생은 전체 풀이를 지우지 않고 잘못된 줄에만 세로선을 그었다. “항을 등호 너머로 옮기는 것은 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것”이라고 말한 뒤, 5x-12≤3x+4에서 양변에 12를 더해 5x≤3x+16으로 적었다. 이어 양변에서 3x를 빼서 2x≤16, 따라서 x≤8을 얻었다.

이번에는 양변에 같은 수를 빼는 장면을 직접 표시했다. 5x-12≤3x+4에서 양변에 3x를 빼면 왼쪽은 2x-12, 오른쪽은 4가 되고, 다시 양변에 12를 더하면 2x≤16이 된다고 두 줄로 남겼다. 부등호 방향은 그대로였다. 같은 수를 더하거나 빼는 경우에는 방향이 바뀌지 않는다는 점을 풀이 옆에 짧게 적었고, 음수를 곱하거나 나누는 상황과 섞어 판단하지 않도록 구분했다.

표현을 바꾼 문제에서 다시 찾은 분기점

다음 문제는 식으로 주어지지 않았다. “어떤 수에 4를 곱한 뒤 7을 뺀 값은 그 수의 2배보다 작거나 같다.” 학생은 문장을 4x-7≤2x로 바꾸고, 양변에서 2x를 빼 2x-7≤0을 만들었다. 여기서 양변에 7을 더해 2x≤7, 즉 x≤3.5라고 정리했다.

이번에는 질문 방향도 바꾸었다. “이 조건을 만족하지 않는 수의 범위는?”이라는 물음에 학생은 답을 새로 계산하지 않고, 경계값 3.5를 기준으로 x>3.5라고 적었다. x=3을 원래 문장에 넣으면 12-7=5, 6보다 작거나 같지 않으므로 조건을 만족하지 않는다는 것을 확인하고, x=4를 넣으면 9≤8이 거짓임을 확인했다. 이때 문장의 ‘작거나 같다’를 먼저 부등호로 바꾼 뒤 항을 이동했다는 순서를 설명했다.

도움 없이 재현한 최종 검증

수업 끝에 학생은 힌트 없이 2(3x+1)-5>x+6을 풀었다. 먼저 괄호를 전개해 6x-3>x+6으로 적고, 양변에서 x를 빼 5x-3>6을 만들었다. 이어 양변에 3을 더해 5x>9, 따라서 x>1.8이라고 설명했다.

학생은 “x를 오른쪽에서 왼쪽으로 옮긴 것은 양변에서 x를 뺀 것이므로 부등호를 바꾸지 않았다. -3을 없애려고 양변에 3을 더한 것도 방향을 유지한다.”라고 풀이 이유를 직접 말했다. 마지막으로 x=2를 대입해 7>8은 거짓이므로 경계 안쪽 값이 아니라는 점을 확인하고, x=1을 넣어 -?가 아니라 원래 식에서 2(4)-5=3, 1+6=7이므로 거짓임을 다시 점검했다. 이어 x=3을 넣어 2(10)-5=15, 9보다 크므로 참임을 확인했다. 경계 1.8의 오른쪽에서만 성립한다는 검산 근거까지 스스로 남긴 장면이었다.

대전동구중2수학과외에서 확인한 변화는 풀이량이 아니라 첫 판단을 기록하는 방식이었다. 학생은 항을 옮길 때 양변에 실제로 같은 수를 더하거나 빼는지 확인하고, 경계와 범위 안팎의 수를 원식에 대입해 부등식의 방향을 끝까지 검증했다.