문화동 중2수학과외

문화동 중2수학과외에서 다룬 일차부등식의 경계값

문화동 생활권에는 센트럴파크 2단지와 한밭우성아파트가 있는 주거 구역, 한밭도서관 인근 생활권이 함께 이어져 있습니다. 이 생활권의 중학교 수학 문제를 살펴보던 수업에서 학생은 일차부등식의 계산보다 먼저 결정해야 하는 것이 있다는 사실을 확인했습니다. 바로 경계값을 답에 포함할지를 부등호로 정확히 나타내는 일이었습니다. 이번 장면은 문화동과외 수업에서 학생이 한 줄의 부호를 놓친 뒤, 그 판단을 스스로 다시 세우는 과정으로 진행되었습니다.

계산보다 앞서 확인해야 할 한 줄

학생에게 다음 부등식이 제시되었습니다.

−3x＋5≤14

학생은 먼저 상수항 5를 오른쪽으로 옮기며 공책에 다음처럼 적었습니다.

−3x≤14＋5
−3x≤19

여기까지는 옮긴 항의 부호를 바르게 바꾸었습니다. 그러나 다음 줄에서 학생은 −3으로 나눌 때 부등호를 그대로 둔 채 x≤−19/3이라고 썼습니다. 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다는 말을 알고 있었지만, 계산을 빠르게 끝내려는 순간 그 판단을 적용하지 않았습니다.

중요한 오류는 최종 답이 틀렸다는 결과가 아니었습니다. 최초로 어긋난 선택은 양변을 음수로 나누면서도 부등호를 바꾸지 않은 것이었습니다. 경계값 −19/3을 포함하는지 판단하기도 전에, 부등호 방향이 이미 잘못 정해진 셈입니다.

양변에 한 일을 나란히 적기

교정은 여러 풀이법을 새로 추가하는 대신, 학생이 이미 맞게 수행한 이항 과정을 유지하는 방식으로 진행했습니다. 학생은 각 줄 오른쪽에 양변에 적용한 연산을 짧게 표시했습니다.

• −3x＋5≤14에서 양변에 −5를 적용한다.
• −3x≤19가 된 뒤 양변을 −3으로 나눈다.
• 음수로 나누었으므로 부등호 방향을 반대로 바꾼다.

따라서 해는 x≥−19/3이 됩니다. 학생은 경계값을 실제로 넣어 확인했습니다. x=−19/3을 원래 식에 대입하면 좌변은 14가 되어 14≤14가 성립합니다. 반대로 x=−6을 넣으면 좌변은 23이 되어 조건을 만족하지 않습니다. 이 검산을 통해 등호가 포함된 부등호가 왜 경계값을 포함하는지도 계산으로 확인했습니다.

표현이 달라진 문제에서 같은 판단 세우기

다음 문제는 숫자만 바꾼 형태가 아니라, 문장 조건에서 부등식을 세우도록 바꾸었습니다.

어떤 수 x에 −4를 곱한 값이 12보다 작거나 같으려면 x의 범위를 어떻게 나타내야 하는가?

학생은 먼저 “작거나 같다”에 해당하는 기호가 ≤임을 문장 아래에 표시했습니다. 이어서 −4x≤12라고 식을 세웠고, 양변을 −4로 나눌 때 부등호 방향이 바뀐다고 옆에 적었습니다. 답은 x≥−3이었습니다. 이번에는 식의 계산 순서가 아니라 문장 속 조건을 부등호로 옮기는 단계와 음수 계수의 처리를 함께 판단해야 했습니다.

또 다른 문제에서는 해를 수직선에 나타내도록 했습니다. 학생은 −3에서 점을 비워 두지 않고 색칠한 점을 찍은 뒤, 오른쪽으로 화살표를 그렸습니다. “−3 이상이므로 경계값을 포함하고 오른쪽 범위”라고 적어 식 x≥−3과 그림의 방향을 연결했습니다. 부등호, 수직선, 문장이 서로 다른 모양으로 제시되어도 같은 기준을 사용한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

수업의 끝에는 다음 부등식을 별도의 표시 없이 풀게 했습니다.

7−2x>15

학생은 첫 줄에서 “−2x를 만들기 위해 7을 양변에서 뺀다”고 적어 −2x>8을 만들었습니다. 이어 “음수로 나누므로 방향을 바꾼다”고 스스로 기록하여 x<−4를 얻었습니다. 단순히 답만 말하지 않고, −4를 대입하면 15>15가 아니므로 경계값은 포함되지 않는다고 설명했습니다. −5를 대입하면 17>15가 성립하므로 −4보다 작은 값들이 해라는 검산도 덧붙였습니다.

대전글꽃중학교, 대전동산중학교, 대전문화여자중학교, 대전대문중학교가 포함된 생활권의 중2수학과외에서도 일차부등식은 계산 속도보다 기준을 먼저 세우는 연습이 중요합니다. 특히 문화동중2수학과외 수업에서 확인한 것처럼, 항을 옮긴 뒤 양변에 어떤 연산을 했는지 기록하고 음수의 곱셈·나눗셈 여부를 먼저 살피면 경계값의 포함 여부를 흔들림 없이 판단할 수 있습니다.