문화동 고2수학과외
한 항만 보고 합을 추측한 풀이의 오류
대전동산고등학교 학생의 첫 기록에는 \(a_n=3n^2-2n+1\)만 적혀 있고, 곧바로 \(S_n=3n^2-2n+1\)이라고 결론 내린 흔적이 있었다. 이는 \(n\)번째 항과 첫 \(n\)개 항의 합을 혼동한 것이다.
문제에서 구해야 할 값
수열의 일반항이
\[ a_k=3k^2-2k+1 \]
일 때, 부분합 \(S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\)를 구해 보자.
부분합은 한 항이 아니라 다음처럼 누적한 값이다.
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}(3k^2-2k+1) \]
Σ를 전개해 공식으로 정리하기
다항식 일반항의 부분합
항별로 나누면
\[ S_n=3\sum_{k=1}^{n}k^2-2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1 \]
기본 합 공식을 적용한다.
\[ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\quad \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2,\quad \sum_{k=1}^{n}1=n \]
따라서
\[ \begin{aligned} S_n &=\frac{n(n+1)(2n+1)}2-n(n+1)+n\\ &=\frac{n(2n^2+n+1)}2 \end{aligned} \]
정답은 \(\boxed{S_n=\frac{n(2n^2+n+1)}2}\)이다.
서술형 답안의 마지막 점검
부분합 차로 일반항 복원하기
부분합이라면 반드시
\[ S_n-S_{n-1}=a_n \]
을 만족해야 한다. 실제로 \(S_n=\frac{n(2n^2+n+1)}2\)에 \(S_{n-1}\)을 빼면
\[ S_n-S_{n-1}=3n^2-2n+1=a_n \]
이므로 계산이 일치한다. 또한 \(n\)은 항의 개수이므로 \(n\ge1\)이다.
문화동과외에서의 적용
비슷한 문제를 풀 때는 먼저 \(a_k\)가 한 항인지 \(S_n\)이 누적합인지 구분하고, Σ를 항별로 분리한 뒤 마지막에 \(S_n-S_{n-1}=a_n\)으로 검산하면 된다.