복수동 중2수학과외
복수동 중2수학과외에서 거꾸로 확인한 부등식의 첫 오류
복수동 생활권에는 복수센트럴자이와 가수원도서관 인근 환경이 함께 있어 학생의 학습 장면을 설명하기 좋은 배경이 된다. 대전신계중학교, 대전대신중학교, 동방여자중학교가 포함된 생활권에서 중2 수학 문제를 살펴보던 중, 학생은 괄호가 있는 일차부등식 풀이를 끝까지 적었지만 답의 범위가 문제의 조건과 맞지 않는 상황을 만났다.
완성된 풀이를 뒤에서부터 읽다
문제는 다음과 같았다.
3(2x-1)-4 < 2(x+5)+1
학생은 먼저 괄호를 풀어 왼쪽을 6x-3-4, 오른쪽을 2x+10+1로 적었다. 이어서 항을 정리해 6x-7 < 2x+11을 만들고, 양변에서 2x를 빼 4x-7 < 11, 양변에 7을 더해 4x < 18까지 계산했다. 그런데 마지막에 4로 나누면서 x<9/2라고 썼다.
학생은 답을 다시 확인하려고 마지막 줄부터 거꾸로 읽었다. x<9/2라는 결론에서 경계값 9/2를 넣으면 양쪽이 같아져야 하는데, 원래 부등식에서는 왼쪽과 오른쪽이 모두 20이 되어 등호가 성립한다는 점을 확인했다. 여기까지는 경계값을 제외하는 답과 맞아 보였다. 그러나 학생이 표시한 수직선에는 9/2에 속이 찬 점을 찍어 두었다. 계산 결과보다 먼저 확인할 판단이 필요했다.
결과가 아니라 분기점을 찾다
교사는 전체 풀이를 지우게 하지 않고, 부호가 바뀌었을 가능성이 있는 줄만 찾아보게 했다. 학생은 다른 문제의 기록에서 다음과 같은 장면을 발견했다.
-3x+6 > 12
양변을 -3으로 나누면 x>-2
학생이 처음 잘못 선택한 것은 음수 -3으로 나눌 때 부등호 방향을 그대로 둔 판단이었다. 뒤에서 수직선을 잘못 그린 것은 그 판단의 결과였다. 괄호를 푸는 과정과 같은 항을 정리하는 과정은 맞았으므로, 그 부분까지 다시 바꾸지 않았다.
학생은 음수로 곱하거나 나누는 순간 부등호 방향을 반대로 바꾼다는 표시를 해당 줄의 숫자 옆에 직접 적었다. 이어 원래 문제의 4x<18에서는 나누는 수가 양수 4이므로 방향을 유지하고, 경계값 9/2는 포함하지 않는다고 구분했다. 이때 문제의 풀이를 처음부터 반복하지 않고, 잘못된 한 줄과 그 줄에서 이어진 수직선만 고쳤다.
표현을 바꾼 문제에서 다시 판단하기
같은 수업에서 식을 그대로 보여 주지 않은 문제를 제시했다.
수직선에서 -2보다 왼쪽의 수를 나타내는 부등식을 만들고, 그 해가 다음 조건을 만족하는지 판단하시오.
-3x+6 > 12
이번에는 학생이 먼저 식의 양변에서 6을 빼 -3x>6을 만들었다. 그리고 “x를 홀로 만들려면 -3으로 나누지만, 음수로 나누므로 부등호를 반대로 바꾼다”고 말하며 x<-2를 적었다. 수직선에는 -2에 빈 점을 찍고 왼쪽으로 선을 그었다.
문제의 질문 방향도 바꾸어 보았다. 이번에는 아래와 같은 표의 빈칸을 채우게 했다.
x=-3일 때 -3x+6=15
x=-2일 때 -3x+6=12
x=-1일 때 -3x+6=9
학생은 기준값 -2에서 식의 값이 12가 되고, 12보다 큰 값은 x가 -2보다 작은 쪽에서 나온다고 설명했다. 단순히 숫자를 바꾼 문제가 아니라 식, 표, 수직선의 대응을 확인하면서 같은 부등호 방향을 다른 표현으로 재현한 것이다.
힌트 없이 남은 한 줄을 검산하다
수업 후반에는 풀이 중간을 가린 새 문제를 주었다.
5-2(3x-4) ≥ x+9
학생은 괄호 앞의 -2를 각각의 항에 곱해 5-6x+8≥x+9라고 적었다. 양변에서 x를 빼고 5를 빼어 -7x≥-4를 만든 뒤, -7로 나누는 순간 부등호를 반대로 바꾸어 x≤4/7이라고 결론 냈다. “음수로 나눴으므로 방향을 뒤집었다”고 풀이 옆에 이유도 남겼다.
학생은 경계값 4/7을 원래 식에 대입해 양쪽이 같음을 확인하고, 해 중 하나인 x=0을 대입했다. 왼쪽은 13, 오른쪽은 9이므로 조건을 만족한다. 또 x=1을 넣으면 왼쪽은 7, 오른쪽은 10이 되어 만족하지 않으므로 x가 4/7 이하라는 수직선 표시와도 일치한다고 설명했다.
복수동에서 진행한 이번 복수동과외 수업의 확인 장면은 답만 맞히는 데 머물지 않았다. 학생은 괄호를 푼 뒤 음수로 나누는 줄을 첫 판단 지점으로 찾고, 그때 부등호를 뒤집어야 하는 이유와 원래 식에 대입한 검산 근거까지 스스로 말하며 풀이를 마쳤다. 이처럼 복수동중2수학과외에서는 한 번의 오답을 전체 계산의 실패로 보지 않고, 결과를 만든 최초의 선택까지 거슬러 확인한다.