복수동 고1수학과외







복수동 고1수학과외, 치역의 경계를 먼저 읽는 연습
복수동에서 고1 수학을 공부하던 학생은 함수의 식을 계산하는 데는 익숙했지만, 치역을 구할 때 허용되는 값의 끝점을 자주 놓쳤다. 특히 좌표의 변화를 읽는 과정에서 입력값과 출력값의 방향을 반대로 생각해 치역을 필요 이상으로 넓게 잡았다.
계산보다 먼저 확인한 출력값의 범위
예를 들어 함수 \(y=(x-1)^2+2\)에서 \(0\le x\le 3\)일 때 학생은 \(x\)의 범위와 \(y\)의 범위를 같은 방식으로 옮기려 했다. 그러나 이 함수는 \(x=1\)에서 가장 작은 값을 가지므로, 구간 안의 꼭짓점 위치를 먼저 살펴야 한다.
치역은 입력값의 범위가 아니라, 그 입력값들이 함수에 대응된 뒤 만들어 내는 출력값의 범위다.
학생은 풀이 첫 줄에 꼭짓점의 위치와 구간의 양 끝을 적고, 해당 지점에서의 함수값을 비교하는 방식으로 바꾸었다. 그 결과 \(f(1)=2\), \(f(0)=3\), \(f(3)=6\)이므로 치역은 \(2\le y\le6\)임을 정확히 정리했다.
표현이 바뀐 조건에서도 같은 기준 적용하기
이후에는 식 대신 그래프가 제시되고, “함숫값의 범위”를 묻는 문항을 풀었다. 학생은 좌표의 가로 방향을 따라 읽는 습관에서 벗어나 세로축에 대응되는 값만 추려 치역을 판단했다. 끝점이 포함된 점인지 빈 점인지도 함께 확인해 부등호의 포함 여부를 결정했다.
마지막으로 역방향 질문인 “치역이 \(2\le y\le6\)이 되도록 하는 그래프의 일부”를 제시했다. 학생은 앞서 외운 계산 절차를 복사하지 않고, 세로축에서 해당 범위를 표시한 뒤 그래프와 만나는 부분을 찾아 답을 구성했다. 새로운 그래프에서는 꼭짓점이 구간 밖에 있었지만, 양 끝점의 함수값을 비교해 치역을 다시 구했고 경계값을 빠뜨리지 않았다.
- 입력값의 구간과 출력값의 범위를 구분한다.
- 그래프에서는 세로축 방향과 끝점의 포함 여부를 확인한다.
- 식과 그래프의 표현이 달라도 치역을 만드는 출력값을 기준으로 판단한다.