복수동 고2수학과외







답보다 먼저 확인한 것: 로그의 진수 조건
다음 날 풀이를 다시 검토하던 중, 부등식 계산은 맞았지만 정의역이 답에 반영되지 않은 흔적을 발견했다. 로그 문제에서는 대수적으로 얻은 해가 곧바로 최종 답이 되지 않는다.
한 식에서 시작한 재검증
문제는 다음과 같다.
log₂(x−1)+log₂(5−x) ≥ 1
먼저 두 진수가 양수여야 하므로
x−1>0, 5−x>0에서 1<x<5를 얻는다.
이제 로그의 밑이 2이므로
(x−1)(5−x)≥2
−x²+6x−5≥2, 즉 x²−6x+7≤0이다. 근은 3−√2, 3+√2이므로 대수적 해는
3−√2≤x≤3+√2
이다. 이 구간은 모두 1과 5 사이에 있으므로 정의역과의 교집합도 변하지 않는다.
수직선에서 확인한 최종 답
정의역 (1,5)와 대수적 해 [3−√2, 3+√2]를 겹치면
x∈[3−√2, 3+√2]
가 된다. 양 끝점에서는 각 진수가 양수이므로 등호를 포함할 수 있다.
처음 기록에서 빠진 단계
처음 풀이에는 곱셈 형태로 바꾸고 이차부등식을 해결한 과정만 적혀 있었다. 계산 자체는 맞았지만, 로그가 정의되기 위한 조건을 별도로 표시하지 않아 다른 문제에 그대로 적용하면 잘못된 구간을 포함할 위험이 있었다.
조건을 바꾸면 교집합이 답을 바꾼다
같은 진수를 사용해 다음 문제로 변형해 보자.
log₂(x−1)−log₂(5−x)≥0
정의역은 여전히 1<x<5이다. 로그의 밑이 1보다 크므로
(x−1)/(5−x)≥1
이고, 정의역에서 분모가 양수이므로
x−1≥5−x, 즉 x≥3
을 얻는다. 따라서 최종 해는 대수적 해 [3,∞)와 정의역 (1,5)의 교집합인
[3,5)
이다. x=5는 진수 5−x가 0이 되므로 포함할 수 없다.
풀이를 점검하는 기준
- 각 로그의 진수가 모두 양수인지 확인한다.
- 밑이 1보다 큰지 작은지에 따라 부등호 방향을 판단한다.
- 대수적 해와 정의역의 교집합만 최종 답으로 남긴다.
복수동과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산 결과를 바로 답으로 옮기기보다, 마지막에 정의역과 수직선의 교집합을 반드시 점검하는 습관이 중요하다.
역으로 물었을 때도 설명할 수 있나요?
결론을 구하는 연습에 익숙해졌다면 그 결론이 나오려면 어떤 조건이 필요했는지 되짚어 보세요. 단, 어떤 성질의 역도 항상 참이라고 가정해서는 안 됩니다. 현재 배운 정리에서 어느 방향까지 성립하는지 수업 자료로 확인하며 질문할 부분을 남길 수 있습니다.
학교에서 수학 과목을 함께 배우고 있다면
동시에 배우는 과목이 있다면 같은 수학이라는 이유로 진도와 숙제를 한 목록에 섞지 말고 과목명을 구분해 보세요. 과목마다 남은 질문과 평가 범위가 다를 수 있습니다. 고2 상담에서는 실제 수강 중인 과목과 학교 일정부터 확인하는 것이 좋습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
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현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
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선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
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