도안동 중2수학과외

도안동 중2수학과외에서 확인한 일차부등식의 판단

문제는 3x-5≤7을 풀고 해를 수직선에 나타내라는 내용이었다. 학생은 먼저 양변에 5를 더해 3x≤12를 적었고, 이어 양변을 3으로 나누어 x≤4라고 썼다.

풀이 옆에는 숫자 4를 표시하고, 수직선에서는 4에 동그라미를 그린 뒤 왼쪽으로 선을 연결했다. 등호가 포함되어 있으므로 경계값을 포함해야 한다는 점도 말로 확인했다. 그런데 다음 문제에서 식의 모양이 바뀌었다.

5-2x>1의 해를 수직선에 나타내시오.

학생은 먼저 양변에서 5를 빼 -2x>-4를 만들었다. 여기까지는 정확했다. 하지만 수직선에 옮기는 과정에서 -2x>-4를 x>2로 적고, 2에 닫힌 점을 찍었다. 식을 계산한 결과만 보면 두 가지 판단이 함께 어긋나 있었지만, 가장 먼저 잘못 고른 것은 음수로 나눌 때 부등호 방향을 그대로 둔 것이었다. 그 판단 때문에 해의 방향과 경계 표시까지 연달아 달라졌다.

한 줄의 연산을 다시 확인하다

학생이 이미 맞게 처리한 ‘양변에서 같은 수를 더하거나 빼는 과정’은 그대로 두었다. 대신 음수로 나누거나 곱할 때만 부등호 방향이 바뀐다는 관계를 해당 식에 직접 연결했다. 따라서 -2x>-4의 양변을 -2로 나누면 부등호가 반대가 되어 x<2가 된다.

교사는 곧바로 수직선의 표기와 식을 서로 대조하게 했다. x<2는 2를 포함하지 않으므로 2에는 열린 점을 찍고, 2보다 작은 쪽으로 선을 그어야 한다. 학생은 종이에 다음처럼 두 표현을 나란히 적었다.

• x<2 → 열린 점, 왼쪽 방향
• x≤2 → 닫힌 점, 왼쪽 방향
• x>2 → 열린 점, 오른쪽 방향
• x≥2 → 닫힌 점, 오른쪽 방향

이 표를 외워서 끝내지 않고, 경계값 2를 원래 부등식에 넣어 확인했다. 원래 식에 x=2를 대입하면 5-4>1, 즉 1>1이 되어 거짓이다. 따라서 2는 해에 포함되지 않으며 닫힌 점을 찍을 수 없다는 근거도 직접 설명했다. 수직선에서 왼쪽 영역의 수 1을 골라 대입하면 5-2>1, 즉 3>1이므로 해의 방향도 맞는다고 검산했다.

식이 아닌 수직선에서 출발한 적용

열린 점이 -3에 있고 오른쪽으로 선이 이어진 그림을 보고, 학생은 이를 x>-3으로 읽었다. 이어 “양변을 음수로 나눈 뒤 만들어진 결과라면 원래 부등호는 반대 방향일 수 있다”고 판단하고, 가능한 식 -x<3과 대응시켰다.

이번에는 숫자만 바꾼 계산 문제가 아니었다. 부등식에서 수직선으로, 다시 수직선에서 식으로 표현을 바꾸어야 했다. 학생은 열린 점을 보고 경계값이 제외된다는 점을 먼저 말하고, 오른쪽 방향을 보고 x가 기준값보다 크다는 관계를 설명했다. 이어 x=-3을 식에 대입해 -(-3)<3, 즉 3<3이 거짓임을 확인했다. 방향과 점의 종류를 따로 판단한 것이 아니라, 두 표현이 같은 해의 조건을 나타내는지 점검한 것이다.

도움 없이 다시 세운 첫 판단

수업 후반에는 다음 문제를 풀이 지시 없이 제시했다.

4-3x≥-8을 풀고, 해를 수직선으로 나타내시오.

학생은 먼저 양변에서 4를 빼 -3x≥-12라고 적었다. 잠시 멈춘 뒤 식 옆에 ‘음수로 나눔’이라고 표시하고, 부등호 방향을 바꾸어 x≤4를 얻었다. 수직선의 4에는 닫힌 점을 찍고 왼쪽으로 선을 그었다.

학생은 “-3으로 나눌 때 방향을 바꾸지 않으면 x≥4가 되지만, 그 경우에는 음수인 해를 원래 식에 넣었을 때 조건을 설명할 수 없다”고 풀이 이유를 말했다. 실제로 x=4를 대입하면 4-12≥-8, 즉 -8≥-8이 참이므로 4는 포함된다. 또 x=5를 넣으면 -11≥-8이 거짓이어서 오른쪽은 해가 아니며, x=3을 넣으면 -5≥-8이 참이어서 왼쪽 방향이 맞다고 검산했다.

도안동중2수학과외에서 확인한 변화는 계산 속도가 아니라 첫 연산의 성격을 스스로 확인한 장면에 있었다. 학생은 식의 배열이나 수직선의 모양이 달라져도 음수 연산 뒤 부등호 방향, 경계값의 포함 여부, 해의 방향을 하나의 관계로 연결해 재현했다.