도안동 고2수학과외







같은 로그값을 다른 모양으로 바꾸는 순간
로그의 성질에서 오답은 계산보다 변형 규칙을 잘못 적용할 때 시작된다. 특히 로그 앞의 계수는 진수에 곱하는 수가 아니라 진수의 지수로 옮겨야 한다. 이 원리는 도안동과외에서 로그식을 점검할 때도 가장 먼저 확인할 부분이다.
한 식으로 확인하기
조건을 만족하는 양수 a, b에 대하여
3logab = loga(b3)
이다. 반면 3logab = loga(3b)로 바꾸면 일반적으로 원래 값과 달라진다.
학생 풀이 기록에서 찾은 오류
다음 식을 하나의 로그로 나타내 보자.
−2log5x + ½log5y
단, x와 y는 양수이다.
잘못된 변형
계수를 진수에 곱한다고 생각하면 다음처럼 쓸 수 있다.
log5(−2x) + log5(½y)
그러나 첫 번째 진수는 음수이므로 실수 범위의 로그로 정의되지 않는다. 계수 −2와 ½은 진수에 곱하는 값이 아니다.
교정된 변형
계수를 지수로 옮기면
−2log5x = log5(x−2)
½log5y = log5(y1/2)
이다. 따라서 로그의 덧셈 법칙을 적용하면
log5(x−2) + log5(y1/2)
= log5(x−2y1/2)
가 된다. 최종 답은 log5(√y/x2)이다.
변형 뒤 같은 값을 나타내는지 검증하기
예를 들어 x = 5, y = 25로 두면 원래 식은
−2log55 + ½log525 = −2 + 1 = −1
이다.
교정한 식도
log5(√25/52) = log5(5/25) = log5(1/5) = −1
이므로 같은 값을 얻는다. 핵심은 c logaM = loga(Mc)이며, 이때 M은 양수여야 한다는 점이다.