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도안동 고2수학과외

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같은 로그값을 다른 모양으로 바꾸는 순간

로그의 성질에서 오답은 계산보다 변형 규칙을 잘못 적용할 때 시작된다. 특히 로그 앞의 계수는 진수에 곱하는 수가 아니라 진수의 지수로 옮겨야 한다. 이 원리는 도안동과외에서 로그식을 점검할 때도 가장 먼저 확인할 부분이다.

한 식으로 확인하기

조건을 만족하는 양수 a, b에 대하여

3logab = loga(b3)

이다. 반면 3logab = loga(3b)로 바꾸면 일반적으로 원래 값과 달라진다.

학생 풀이 기록에서 찾은 오류

다음 식을 하나의 로그로 나타내 보자.

−2log5x + ½log5y

단, xy는 양수이다.

잘못된 변형

계수를 진수에 곱한다고 생각하면 다음처럼 쓸 수 있다.

log5(−2x) + log5(½y)

그러나 첫 번째 진수는 음수이므로 실수 범위의 로그로 정의되지 않는다. 계수 −2와 ½은 진수에 곱하는 값이 아니다.

교정된 변형

계수를 지수로 옮기면

−2log5x = log5(x−2)

½log5y = log5(y1/2)

이다. 따라서 로그의 덧셈 법칙을 적용하면

log5(x−2) + log5(y1/2)

= log5(x−2y1/2)

가 된다. 최종 답은 log5(√y/x2)이다.

변형 뒤 같은 값을 나타내는지 검증하기

예를 들어 x = 5, y = 25로 두면 원래 식은

−2log55 + ½log525 = −2 + 1 = −1

이다.

교정한 식도

log5(√25/52) = log5(5/25) = log5(1/5) = −1

이므로 같은 값을 얻는다. 핵심은 c logaM = loga(Mc)이며, 이때 M은 양수여야 한다는 점이다.

도안동 고2수학과외 학부모 후기

방학 첫 주 오후, 아이가 공부를 마쳤다길래 지나가다 책상 위를 보게 됐어요. 해설지와 자기 풀이를 펼쳐 놓고 답 전체를 대조하는 게 아니라, 두 풀이가 처음 어긋난 줄만 손가락으로 짚어 보고 있더라고요. 도안동 수학과외를 알아보면서도 이런 장면을 직접 보게 될 줄은 몰랐습니다. 전에는 틀린 문제를 확인하고도 어디서부터 다시 봐야 할지 정하지 않은 채 다음 문제로 넘어가는 일이 많았거든요. 그런데 그날은 풀이를 한 줄씩 살피다가 다른 부분을 찾아 그 근처에 표시를 해두고 한참 비교했어요. 이후 교재를 다시 꺼내든 날에도 같은 문제가 눈에 들어왔는지, 해설과 자기 풀이가 달라지는 지점을 먼저 찾았습니다. 전에 남겨둔 표시도 지우지 않고 그대로 둔 채 그 한 줄부터 살펴보는 모습이 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

방학 첫 주 오후에 책상 위를 정리하다가 아이가 접어 둔 문제 하나를 보게 됐어요. 답은 맞게 적혀 있었는데, 계산 과정을 다시 확인하지 않은 문제만 따로 모아 둔 상태더라고요. 맞았으니 그냥 넘어갔을 거라고 생각했는데 의외였어요. 예전에는 틀린 문제를 찾아도 나중에 어느 부분을 다시 봐야 할지 정해 놓는 모습은 없었거든요. 그런데 이번에는 정답 여부와 상관없이 검산하지 못한 문제를 골라 표시해 두었어요. 도안동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 변화가 눈에 띄어 그 문제를 왜 따로 두었는지 잠시 보게 됐습니다. 다음 수업 전에 교재를 펼쳤을 때도 표시된 문제부터 찾아보더라고요. 처음 남겨 둔 흔적을 지우지 않고 그대로 둔 채, 검산이 필요한 문제만 다시 확인하고 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

도안동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 설명을 들으면 알겠다고 하면서도 혼자 풀 때는 금세 답지를 찾곤 했습니다. 수행평가와 시험 준비가 겹친 주간에도 선생님은 그날 다시 볼 내용을 몇 가지로 줄여 정리하고, 아이가 감당할 수 있게 진도를 조절해 주셨습니다. 오답을 함께 모아 보니 한 문제에 막혀 공부를 포기하는 일이 조금씩 줄어든 모습이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

도안동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 설명을 듣고도 무조건 이해했다고 넘기지 않고 모르는 부분을 먼저 말하기 시작했습니다. 학교 행사로 공부 시간이 부족했던 날에도 선생님은 숙제와 복습량을 줄여 그날 다시 볼 문제만 정리해 주셨고, 아이는 틀린 문제를 피하지 않고 차분히 살펴봤습니다. 시험기간에도 한 문제에 막혔다고 공부 전체를 포기하지 않는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

도안동에서 수학 과외를 시작한 뒤 저녁마다 숙제를 미루던 아이가 수업 전 복습부터 챙기기 시작했습니다. 시험기간에도 새 문제만 급하게 풀기보다 선생님과 지난 내용을 다시 확인하고, 모르는 부분은 눈치 보지 않고 질문한다고 합니다. 이해했는지 천천히 살펴주는 수업 덕분에 공부를 대하는 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★☆학부모 후기