갈마동 고등수학과외

갈마동 고등수학과외에서는 등비수열의 항을 계산하는 데서 멈추지 않고, 공비의 부호가 식의 결과를 어떻게 바꾸는지 실제 풀이로 확인한다. 대전둔산여자고등학교나 대전둔원고등학교 학생들이 수열 문제를 풀 때도 첫 두 항의 크기만 보고 규칙을 단정하기보다, 다음 항이 어떤 방향으로 움직이는지 기록하는 연습이 필요하다. 갈마도서관과 월평도서관처럼 익숙한 생활권에서 공부한 풀이를 다시 펼쳐 보면, 오답은 대개 복잡한 계산보다 첫 판단에서 시작된다.

등비수열의 공비 부호가 바꾸는 것

등비수열에서 공비는 두 항의 비로 구한다. 다만 공비가 양수인지 음수인지에 따라 항의 부호와 증가·감소 양상이 달라진다. 특히 a₁₁−a₁₀을 구할 때는 공비의 크기만 넣을 수 없다. 일반적으로 a₁₁=a₁₀r이므로 차이는 a₁₀(r−1)이다. r−1의 부호까지 남겨 두어야 원래 수열의 방향이 보존된다.

첫 오류는 공비를 ‘양수’로 고정한 순간

한 학생은 a₁=14, a₂=12인 미니수열을 보고 공비를 6/7로 계산했다. 이 경우에는 실제로 양수 공비가 맞고, 항은 14, 12, 72/7처럼 같은 부호 안에서 작아진다. 문제는 다음 연습에서 나타났다. a₁=17, a₂=−18인 수열을 제시하자 학생은 절댓값만 비교해 공비를 18/17, 즉 양수로 적었다.

이렇게 하면 두 번째 항을 다시 계산했을 때 a₂=17×18/17=18이 되어 주어진 −18과 맞지 않는다. 첫 오류는 나눗셈 자체가 아니라, 음수 부호를 지운 채 공비의 크기만 후보로 삼은 데 있었다. 풀이 옆에 ‘다음 시작점’을 표시하고, a₁에서 r을 곱해 a₂가 실제로 나오는지 확인하게 했다.

공비 후보를 정했으면 반드시 첫 항에 곱해 둘째 항을 복원한다. 부호가 맞지 않으면 그 후보는 바로 버린다.

반례로 고친 뒤 새 조건에서 혼자 판정하기

교정 단계에서는 양수 공비와 음수 공비를 나란히 비교했다. 16, 6으로 시작하는 등비수열은 r=3/8이므로 16, 6, 9/4처럼 부호가 유지된다. 반면 17, −18로 시작하면 r=−18/17이고 항의 부호가 번갈아 바뀐다. 두 수열의 첫 항과 둘째 항의 절댓값만 보면 모두 ‘둘째 항의 크기가 비슷하다’고 말할 수 있지만, 실제 규칙은 전혀 다르다.

다음 날에는 숫자와 풀이 방식을 바꿔 a₁=14, a₂=12에서 a₁₁−a₁₀을 구하게 했다. 이번에는 먼저 r=6/7을 적고, 차이를 a₁₀(6/7−1)=−a₁₀/7로 정리하도록 했다. 이어 음수 공비가 포함된 새 문제에서는 항을 직접 두 개 만들어 부호 변화를 확인한 뒤 같은 식을 적용했다. 공식을 외워 대입하는 대신, 공비의 부호를 판정한 근거를 한 줄 남긴 점이 달라졌다.

최종 검산은 원래 항으로 되돌아가기

마지막에는 계산한 공비를 원식에 재대입했다. 음수 공비 문제에서 a₁₀을 구한 뒤 r을 곱해 a₁₁을 만들고, 그 값에서 a₁₀을 빼 처음 구한 차이와 일치하는지 확인했다. 만약 절댓값만 사용했다면 재대입 결과의 부호가 반대로 나타난다. 예를 들어 r=−18/17이면 a₁₁−a₁₀=a₁₀(−35/17)이지, a₁₀(35/17)가 아니다. 원래 항으로 돌아가는 검산이 부호 오류를 가장 빠르게 드러냈다.

자주 묻는 질문

공비가 음수면 등비수열이 아닌가요?

아니다. 인접한 항의 비가 일정하면 음수 공비도 등비수열이다. 다만 항의 부호가 번갈아 바뀐다.

두 항의 절댓값만으로 공비를 구해도 되나요?

공비의 크기만 필요한 상황이 아니라면 안 된다. 원래 항의 부호를 포함해 a₂÷a₁을 계산해야 한다.

a₁₁−a₁₀에서 먼저 항을 모두 구해야 하나요?

그럴 필요는 없다. a_{11>=a10r을 이용하면 a10(r−1)로 바로 나타낼 수 있다. 단, r의 부호는 그대로 보존해야 한다.}

검산할 때 무엇을 가장 먼저 보나요?

구한 공비를 첫 항에 곱해 둘째 항이 주어진 값으로 돌아오는지 확인한다. 부호가 맞지 않으면 계산을 계속하지 않고 후보부터 다시 고친다.