가양동 중2수학과외







부등식의 방향을 결정하는 한 번의 판단
가양동과외 수업에서 학생은 다음과 같은 일차부등식 문제를 펼쳤다.
3x-5≤10일 때 x의 범위를 구하여라.
문제에 ‘양변에 무엇을 하라’는 안내가 없자 학생은 먼저 숫자와 부호를 표시했다. 왼쪽의 -5를 없애기 위해 양변에 5를 더한다고 적고, 이어서 3x≤15를 만들었다. 여기까지는 양변에 같은 수를 더했으므로 식의 방향을 그대로 둔 판단이 맞았다. 학생은 곧바로 x≤5라고 쓰려다가 연산을 잠시 보류하고, 양변을 3으로 나누는 줄을 따로 적었다.
그런데 비슷한 예제를 따라 풀던 과정에서는 -2x+4>10에서 처음부터 4를 반대편으로 옮기며 -2x>6이라고 쓴 뒤, 다음 줄에 x>-3이라고 적었다. 계산 결과만 보면 경계값은 나왔지만, 부등호 방향을 바꾸지 않은 것이 풀이가 처음 어긋난 지점이었다. -2로 나누는 순간 양수로 나눌 때와 같은 방향을 유지한다고 판단한 것이다.
양변에 한 일을 한 줄씩 확인하기
교정은 풀이 전체를 다시 바꾸는 방식이 아니라, 나누는 수의 부호를 먼저 확인하는 한 가지 기준으로 진행했다. 학생은 잘못 쓴 식 옆에 다음처럼 다시 기록했다.
- 양변에 4를 뺌: -2x>6
- 양변을 -2로 나눔: x<-3
이때 학생은 ‘음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향을 바꾼다’고 문장으로 적고, 실제 식의 양변에 같은 연산을 적용했는지 확인했다. 이미 맞았던 4를 빼는 과정은 그대로 두고, -2로 나누는 줄의 방향만 수정했다. 이어서 경계값 -3을 원래 부등식에 넣었다. -2×(-3)+4=10이므로 등호가 포함되지 않은 원래 조건에서는 x=-3이 해가 될 수 없고, x가 -3보다 작을 때에는 예를 들어 -4를 넣으면 12>10이 되어 조건을 만족한다고 검산했다.
가양동중2수학과외에서는 이 판단을 유형 이름 없이 문장과 표를 섞은 문제로 바꾸어 적용했다. 신탄진도서관 인근 생활권에서 볼 수 있는 이용량을 다룬 상황처럼 꾸민 다음 문항이었다.
어떤 수 x를 -3배한 값에 7을 더하면 1보다 크다. 가능한 x의 범위를 부등식으로 나타내어라.
학생은 문장을 먼저 -3x+7>1로 바꾸고, 식 옆에 ‘7을 빼기, -3으로 나누기’라고 적었다. -3x>-6까지 계산한 뒤에는 음수로 나누므로 부등호를 반대로 바꾸어 x<2라고 정리했다. 이번에는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 식이 먼저 주어지지 않고 문장에서 계수와 연산 순서를 찾아야 했으며, ‘x의 범위’를 요구하는 질문으로 바뀌었다.
새 조건에서 스스로 세운 첫 판단
한 주 뒤 학생에게는 표의 값 일부만 제시된 문제가 주어졌다.
| x | -1 | 0 | 1 |
| -4x+3 | 7 | 3 | -1 |
-4x+3이 -5보다 큰 x의 범위를 구하고, 경계값이 조건에 포함되는지 설명하여라.
학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 “상수항을 없애려면 양변에서 3을 빼고, 그다음 음수 4로 나누므로 방향을 바꿔야 한다”고 말했다. 실제로 -4x+3>-5에서 -4x>-8, x<2를 적었다. 표에서 x=1일 때 값이 -1로 -5보다 크고, x=2라면 경계값 -5가 되어 ‘큰’ 조건에는 포함되지 않는다고 설명했다. 마지막으로 x=0을 대입해 3>-5가 맞는지, x=3을 대입해 -9>-5가 거짓인지 확인했다. 양수로 나눌 때는 방향을 유지하고 음수로 나눌 때는 방향을 바꾼다는 첫 판단을 새 문제에서도 스스로 세운 뒤, 원래 조건과 표의 값으로 근거까지 검산한 장면이었다.