가양동 고등수학과외
가양동 고등수학과외에서 확률 단원을 다룰 때 학생들이 자주 멈추는 지점은 계산법 자체보다 ‘무엇을 한 번의 경우로 셀 것인가’를 정하는 과정이다. 명석고등학교 학습 자료를 살펴보며 진행한 수업에서도 세 자리 수를 만드는 문제에서 분자와 분모의 기준이 달라지는 장면이 나타났다. 가양권에서 통학하거나 신탄진도서관, 송촌도서관처럼 조용한 공간에서 문제를 정리하는 학생이라면 풀이 줄마다 경우의 기준을 적어 보는 습관이 특히 유용하다.
세 자리 수 확률에서 처음 어긋난 순간
문제는 0, 1, 2, 3, 4 중 서로 다른 숫자 세 개를 골라 세 자리 자연수를 만들 때, 그 수가 짝수일 확률을 구하는 내용이었다. 학생은 전체 경우를 먼저 세면서 백의 자리 4가지, 십의 자리 4가지, 일의 자리 3가지로 계산해 48을 적었다. 여기까지는 맞았다.
그런데 짝수인 경우를 셀 때는 일의 자리에 0, 2, 4를 놓고 남은 두 자리를 배열하는 방식으로 3×4×3=36이라고 썼다. 0이 일의 자리에 놓이는 경우에는 백의 자리에 제한이 없지만, 2나 4가 일의 자리에 놓일 때에도 백의 자리에는 0이 올 수 없다는 조건을 빠뜨린 것이다. 더구나 학생은 다른 줄에서 ‘백의 자리는 0이 될 수 없다’고 적어 두었지만, 짝수 조건을 세는 순간 그 조건을 적용하지 않았다.
처음 오류는 계산 결과가 아니라, 전체 경우와 유리한 경우에 서로 다른 규칙을 적용한 순간에 생겼다.
지운 뒤 다시 쓰지 않고, 오류가 난 줄만 고치기
풀이 전체를 처음부터 베끼게 하지 않고, 잘못된 곱셈 부분 옆에 일의 자리별로 경우를 나누어 기록했다. 일의 자리가 0이면 백의 자리는 1, 2, 3, 4 중 4가지이고 십의 자리는 3가지이므로 12가지다. 일의 자리가 2이면 백의 자리는 1, 3, 4 중 3가지, 십의 자리는 3가지여서 9가지다. 일의 자리가 4인 경우도 9가지다. 따라서 짝수인 세 자리 수는 30개이고, 확률은 30/48=5/8이다.
학생은 수정한 줄 아래에 ‘분모는 모든 세 자리 수, 분자는 그중 짝수인 세 자리 수’라고 적었다. 이어서 같은 숫자 집합에서 홀수인 수는 일의 자리가 1 또는 3인 경우뿐이므로 각각 9가지씩, 모두 18가지임을 확인했다. 짝수와 홀수는 전체를 빠짐없이 나누므로 30+18=48이 되어야 한다. 이 대조 과정에서 이전의 36이라는 값이 왜 지나치게 컸는지도 스스로 설명하게 했다.
조건을 가린 새 문제에서 기준 복원하기
다음에는 숫자 조건과 그래프 표시를 일부 가린 문제를 제시했다. 남은 단서는 ‘서로 다른 세 자리 수’, ‘일의 자리의 숫자가 3의 배수’, ‘0은 백의 자리에 올 수 없음’이었다. 학생은 먼저 가능한 숫자 목록을 추정하지 않고, 표시된 축과 문장 조각에서 0, 1, 2, 3, 4, 5를 사용하는 문제임을 복원했다.
일의 자리가 0 또는 3이 되는 경우를 나누고, 일의 자리가 0이면 앞 두 자리 배열은 5×4=20가지, 일의 자리가 3이면 백의 자리는 0을 제외한 4가지, 십의 자리는 남은 4가지로 16가지라고 계산했다. 전체 세 자리 수는 첫 자리 5가지, 다음 자리 5가지, 마지막 자리 4가지로 100가지다. 따라서 확률은 36/100으로 정리했다. 조건이 달라졌을 때도 유리한 경우와 전체 경우의 모집단을 같은 숫자 규칙 안에서 세는지 확인했다.
다른 기준으로 다시 세어 보는 마지막 검증
마지막에는 일의 자리를 기준으로 세는 방법을 쓰지 않고, 먼저 백의 자리를 정한 뒤 짝수 조건을 적용하게 했다. 백의 자리가 1이면 남은 숫자 중 짝수는 0, 2, 4 세 개이고, 그 뒤 십의 자리가 정해지는 방식으로 각 항을 적었다. 백의 자리 2, 3, 4에서도 같은 방식으로 합을 내자 30가지가 나왔다.
반례 검사는 더 단순한 숫자 집합으로 진행했다. 0, 1, 2만 사용해 세 자리 수를 만든다고 하면 가능한 수는 102, 120, 201, 210뿐이다. 이때 짝수는 102와 120 두 개이므로 확률은 1/2이다. 조건을 무시한 채 ‘마지막 자리가 짝수인 숫자는 두 개이니 전체 경우도 두 배’라고 세면 확률이 1을 넘거나 전체 합이 맞지 않게 된다. 학생은 최종 풀이에 계산식뿐 아니라, 다른 방식의 재계산과 작은 반례를 함께 남겼다.
자주 묻는 학습 질문
경우의 수와 확률의 분모는 항상 같은 방식으로 세야 하나요?
그렇다. 표본공간의 한 경우와 유리한 사건의 한 경우가 같은 단위인지 먼저 확인해야 한다.
곱의 법칙을 쓰면 조건을 놓치기 쉬운 이유는 무엇인가요?
자리마다 선택지가 달라질 수 있기 때문이다. 앞자리 0 금지처럼 특정 위치의 제한을 단계별로 표시해야 한다.
분모를 먼저 계산하는 것이 좋은가요?
문제에 따라 다르지만, 전체 경우를 정의한 뒤 유리한 경우가 그 안에 포함되는지 대조하면 오류를 찾기 쉽다.
확률이 1보다 작으면 풀이가 맞는 것인가요?
그것만으로는 부족하다. 여사건과의 합, 다른 계산 경로, 간단한 반례까지 확인해야 한다.
풀이 기록에는 무엇을 남겨야 하나요?
각 숫자를 어떤 기준으로 세었는지, 조건이 어느 단계에서 적용됐는지, 마지막에 어떤 방식으로 검산했는지를 짧게 적으면 된다.