가양동 고2수학과외







확률이 가장 큰 값이 기댓값일까?
명석고등학교 학생의 풀이 기록에는 “확률이 가장 큰 값이 기댓값이다”라고 적혀 있었다. 이 판단은 기댓값과 최빈값을 같은 개념으로 본 데서 비롯되었다. 가양동과외 수업에서는 두 값을 한 분포 안에서 직접 비교하며 구분했다.
학생 풀이 기록에서 찾은 오류
확률변수 \(X\)가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
| \(X\) | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(\frac12\) | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac15\) |
가장 큰 확률은 \(X=1\)에서 나타나므로 최빈값은 1이다. 그러나 기댓값은 각 값에 확률을 곱해 더한 가중평균이다.
\[ E(X)=1\cdot\frac12+2\cdot\frac{3}{10}+5\cdot\frac15 =\frac12+\frac35+1=\frac{21}{10} \]
따라서 이 분포의 기댓값은 \(\frac{21}{10}\)이고, 최빈값은 1이다. 두 값은 서로 다를 수 있다.
두 개념을 계산으로 분리하기
최빈값은 가장 자주 나타나는 값
확률변수에서 최빈값은 확률이 가장 큰 값이다. 위 표에서는 \(\frac12\)가 가장 크므로 최빈값은 1이다. 최빈값을 찾을 때는 확률의 크기만 비교한다.
기댓값은 확률가중 평균
기댓값은 가능한 값에 각각의 확률을 곱한 뒤 모두 더한다.
\[ E(X)=\sum xP(X=x) \]
따라서 확률이 가장 큰 값 하나를 고르는 것이 아니라 모든 가능한 값과 확률을 함께 반영해야 한다.
교정 전후 풀이 비교
| 구분 | 잘못된 풀이 | 교정된 풀이 |
|---|---|---|
| 판단 기준 | 확률이 가장 큰 값을 기댓값으로 선택 | 모든 값에 확률을 곱해 합산 |
| 구한 값 | 기댓값 \(=1\) | 기댓값 \(=\frac{21}{10}\) |
| 개념 이름 | 최빈값과 기댓값을 혼동 | 최빈값 \(=1\), 기댓값 \(=\frac{21}{10}\) |
마지막 확인 문항
다음 설명 중 옳은 것을 고르면 된다.
- 기댓값은 확률이 가장 큰 값이다.
- 최빈값은 모든 값의 확률가중 평균이다.
- 최빈값은 확률이 가장 큰 값이고, 기댓값은 확률가중 평균이다.
정답은 3번이다. 기댓값을 구할 때는 \(xP(X=x)\)를 빠뜨리지 않고 모든 항을 더해야 한다.