LearnMap

가양동 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

확률이 가장 큰 값이 기댓값일까?

명석고등학교 학생의 풀이 기록에는 “확률이 가장 큰 값이 기댓값이다”라고 적혀 있었다. 이 판단은 기댓값과 최빈값을 같은 개념으로 본 데서 비롯되었다. 가양동과외 수업에서는 두 값을 한 분포 안에서 직접 비교하며 구분했다.

학생 풀이 기록에서 찾은 오류

확률변수 \(X\)가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

\(X\)125
\(P(X=x)\)\(\frac12\)\(\frac{3}{10}\)\(\frac15\)

가장 큰 확률은 \(X=1\)에서 나타나므로 최빈값은 1이다. 그러나 기댓값은 각 값에 확률을 곱해 더한 가중평균이다.

\[ E(X)=1\cdot\frac12+2\cdot\frac{3}{10}+5\cdot\frac15 =\frac12+\frac35+1=\frac{21}{10} \]

따라서 이 분포의 기댓값은 \(\frac{21}{10}\)이고, 최빈값은 1이다. 두 값은 서로 다를 수 있다.

두 개념을 계산으로 분리하기

최빈값은 가장 자주 나타나는 값

확률변수에서 최빈값은 확률이 가장 큰 값이다. 위 표에서는 \(\frac12\)가 가장 크므로 최빈값은 1이다. 최빈값을 찾을 때는 확률의 크기만 비교한다.

기댓값은 확률가중 평균

기댓값은 가능한 값에 각각의 확률을 곱한 뒤 모두 더한다.

\[ E(X)=\sum xP(X=x) \]

따라서 확률이 가장 큰 값 하나를 고르는 것이 아니라 모든 가능한 값과 확률을 함께 반영해야 한다.

교정 전후 풀이 비교

구분잘못된 풀이교정된 풀이
판단 기준 확률이 가장 큰 값을 기댓값으로 선택 모든 값에 확률을 곱해 합산
구한 값 기댓값 \(=1\) 기댓값 \(=\frac{21}{10}\)
개념 이름 최빈값과 기댓값을 혼동 최빈값 \(=1\), 기댓값 \(=\frac{21}{10}\)

마지막 확인 문항

다음 설명 중 옳은 것을 고르면 된다.

  1. 기댓값은 확률이 가장 큰 값이다.
  2. 최빈값은 모든 값의 확률가중 평균이다.
  3. 최빈값은 확률이 가장 큰 값이고, 기댓값은 확률가중 평균이다.

정답은 3번이다. 기댓값을 구할 때는 \(xP(X=x)\)를 빠뜨리지 않고 모든 항을 더해야 한다.

가양동 고2수학과외 학부모 후기

오답이 몰려 있던 단원을 다시 펼쳐 보던 날이었어요. 다음 일정을 준비해야 해서 잠깐 확인만 하려던 건데, 아이가 시험지를 잠시 들여다보더라고요. 곧바로 풀이를 적지 않고 문제 속 조건 부분에만 동그라미를 친 뒤, 그 문장을 처음부터 다시 읽고 손을 움직이기 시작했어요. 예전에는 막히는 문제가 나오면 어디에서 어려웠는지 따로 남겨두지 않았습니다. 그냥 다음 문제로 넘어가거나 풀이를 끝내는 경우가 많았거든요. 그런데 이번에는 다른 계산을 덧붙이기보다 조건을 먼저 짚고 다시 풀어가는 모습이 보이더라고요. 가양동 수학과외 관련 자료를 정리하다가 수업 전 질문 표시를 확인했는데, 그때도 계산식보다 조건 문장에 먼저 표시가 되어 있었습니다. 이미 살펴본 부분을 눈에 보이게 남겨 둔 흔적이라, 시험지에서 봤던 동그라미와 같은 방식으로 느껴지더라고요.

★★★★☆학부모 후기

새 수학 노트로 바꾼 날이라 무엇부터 적었나 궁금해서 옆에서 잠깐 보게 됐어요. 틀린 문제를 처음부터 다시 푸는 게 아니라, 계산이 삐끗한 부분 두 줄만 찾아 눈으로 따라가고 있더라고요. 예전에는 어디를 다시 봐야 할지 표시를 안 해둬서 노트를 펼치면 문제 전체를 잠시 들여다보곤 했거든요. 가양동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 작은 변화가 눈에 들어왔어요. 표시 하나 없이 넘어가던 아이가 이제는 계산이 어긋난 지점을 골라 보는 모습이 낯설면서도 구체적으로 보였습니다. 학교 숙제를 끝낸 뒤에도 같은 식으로 처음 계산이 달라진 줄을 먼저 짚었습니다. 그리고 놓친 부분에는 따로 알아볼 수 있게 표시를 해두더라고요. 다음에 노트를 펼쳤을 때 어디서부터 확인할지가 한눈에 남아 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

가양동에서 과외를 시작한 뒤 아이와 수업 이야기를 나누다 보니, 예전처럼 문제만 풀고 끝내지 않고 풀이를 다시 살펴보려는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 학교 진도가 늦어질 때도 서두르지 않고 현재 범위를 차분히 정리해 주셨고, 시험기간에도 집중 상태를 살피며 일정을 조절했습니다. 아이가 수학을 잘해야 한다는 부담보다 모르는 부분을 하나씩 물어보고 해결하려는 태도를 갖게 된 점이 가장 좋았습니다.

★★★★★학부모 후기

학기 중간에 가양동 수학과외를 시작하면서 아이가 공부를 대하는 표정부터 조금씩 달라졌습니다. 모르는 문제를 오래 붙잡다 그냥 넘기던 아이에게 선생님은 잘한 부분도 구체적으로 짚어 주고, 다음 주 계획은 스스로 이어 갈 수 있게 여유를 두어 정해 주셨습니다. 시험기간에도 어려운 내용은 어렵다고 편하게 말하는 모습이 보여 작은 변화지만 참 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

가양동에서 과외를 시작했을 때는 시험이 다가오면 마음만 급해져 틀린 문제를 표시해 두고 다시 보지 않았습니다. 주말에 늦잠을 자 숙제를 덜 해 간 날에도 선생님은 다그치기보다 수업 시간을 조정하고, 이해한 부분과 막힌 이유를 차분히 물어봐 주셨습니다. 요즘은 수업 전에 궁금한 문제를 따로 표시해 두고 먼저 질문하는 일이 자연스러워졌습니다.

★★★★☆학부모 후기