비래동 중2수학과외

비래동 중2수학과외에서 확인한 부등식 풀이의 한 줄

비래동과외 수업에서 학생은 일차부등식 서술형 문제를 풀며 계산 자체보다 먼저 해야 할 판단에서 멈췄다.

계산보다 앞서 놓친 판단

문제는 “어떤 수에 3을 더한 값의 2배에서 5를 뺀 값이 9보다 작지 않다”와 같은 문장형 부등식이었다. 학생은 문장을 읽으며 ‘2배’, ‘5를 뺀다’, ‘9보다 작지 않다’에 밑줄을 그었다. 이어서

2x+5-5 ≥ 9

라고 적고, 양변에서 5를 없애는 과정까지는 맞게 진행했다. 그러나 원래 문장의 ‘2배에서 5를 뺀 값’을 식으로 옮길 때 괄호와 부호를 확인하지 않고 2x+5-5로 적은 것이 첫 번째 어긋남이었다. 학생은 그 뒤에 계산 결과만 검산하려 했기 때문에, 처음 잘못 세운 식이 그대로 답의 범위를 바꾸게 되었다.

다만 이 장면에서 양변을 양수로 나누는 규칙 자체를 설명하는 데 머물지 않았다. 실제 풀이에서 가장 먼저 바로잡아야 할 것은 항을 옮기기 전에 부호와 괄호를 읽는 판단이었다. 학생이 쓴 식에서 ‘2배한 값에서 5를 뺀다’는 말은 2x-5로 표시해야 했다.

양변에 한 연산을 나란히 남기기

교정은 한 가지 행동으로 제한했다. 학생은 다음 줄부터 계산식을 지우지 않고, 양변에 적용한 연산을 오른쪽 여백에 함께 적었다.

2x-5 ≥ 9
양변에 5를 더함
2x ≥ 14
양변을 2로 나눔
x ≥ 7

여기서 2는 양수이므로 부등호 방향을 그대로 둔다는 말을 별도 규칙처럼 외우기보다, ‘양변을 2로 나눔’이라고 적은 뒤 계수의 부호를 눈으로 확인하게 했다. 학생은 경계값 7을 원래 식에 넣어 2×7-5=9가 되는지 계산했고, 7보다 큰 수를 하나 골라 부등식도 성립하는지 확인했다. 이미 맞게 처리한 문장 표시와 경계값 대입은 유지하고, 식을 세우는 첫 줄만 고쳤다.

표와 질문이 바뀐 적용

다음 문제는 문장 대신 표로 제시했다. 한 통에 들어 있는 양을 x라 하고, 통의 수와 전체 양의 관계를 표에 나타낸 뒤 “전체 양이 18 이상이 되려면 x의 범위는?”이라고 물었다. 표에는 다음과 같은 식이 함께 주어졌다.

4x+2 ≥ 18

학생은 곧바로 양변에서 2를 빼서 4x≥16을 만들고, 양변을 4로 나누어 x≥4라고 적었다. 이번에는 계산 줄 옆에 ‘4는 양수’라고 표시했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장을 식으로 옮기는 문제에서 표의 관계를 읽고 조건의 방향을 해석하는 문제로 바꾼 것이다.

이어 질문을 반대로 바꾸었다. “전체 양이 18보다 작게 되도록 하는 x의 범위는?”이라는 물음에 학생은 4x+2<18에서 x<4를 얻었다. ‘이상’과 ‘미만’을 각각 ≥와 <로 구분하고, 4로 나눌 때 부등호 방향이 바뀌지 않는 이유를 계수의 부호로 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 기준

검증 문제에서는 음의 계수가 포함된 식을 제시했다.

-3x+4 ≤ 10

학생은 첫 줄에 바로 “x의 계수가 -3이므로 음수로 나눌 때 방향을 바꿔야 한다”고 적었다. 양변에서 4를 빼

-3x ≤ 6

으로 만든 뒤, 양변을 -3으로 나누면서

x ≥ -2

라고 정리했다. 이어 경계값 -2를 대입해 양변이 같은지 확인하고, -3을 넣으면 -3×(-3)+4=13이 되어 10 이하가 아니므로 범위에 포함되지 않는다고 설명했다. 양수로 나눌 때는 방향을 유지하고 음수로 나눌 때는 방향을 바꾼다는 판단을 문제의 첫 줄에서 스스로 선택한 것이다.

비래동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답만 맞힌 데 있지 않다. 학생은 식을 옮기기 전 부호와 괄호를 확인하고, 양변에 한 연산을 기록하며, 마지막에는 경계값과 범위 밖의 값을 직접 대입했다. 부등식의 방향을 계산 뒤에 추측하지 않고, 나누는 수의 부호를 처음부터 근거로 삼는 풀이가 자리 잡았는지를 새 문제에서 확인할 수 있었다.