비래동 고등수학과외

비래동 고등수학과외에서는 확률 단원에서 공식을 빠르게 대입하는 것보다, 어떤 사건을 직접 세고 어떤 사건을 여사건으로 바꿀지 판단하는 순간을 세밀하게 살핀다. 대전송촌고등학교와 동대전고등학교 학생들도 학교 자료를 풀다가 계산보다 사건의 정의를 잘못 읽어 첫 줄에서 오답을 만드는 경우가 있다. 비래휴플러스와 둥지아파트 생활권에서 이동하는 학생과 함께 8자리 배열 문제를 다룰 때도 같은 장면이 나타난다.

8자리 배열에서 여사건을 고르는 순간

학생에게 다음 문제를 제시했다. 숫자 0부터 9까지 중복을 허용해 8자리 문자열을 만들 때, 적어도 한 번은 7이 나타날 확률을 구하는 문제다. 첫 자리를 특별히 자연수의 자리로 제한하지 않은 문자열 문제이므로 전체 경우의 수는 10⁸이다. ‘7이 한 번 이상 나온다’는 사건을 직접 세면 7이 나타나는 위치를 나누고 중복을 조정해야 한다. 반면 여사건인 ‘8자리 모두 7이 아니다’는 각 자리마다 선택지가 9개라서 경우의 수가 9⁸이다.

학생은 문제를 읽자마자 “7이 나오는 자리를 정해서 세는 편이 빠르다”고 말한 뒤, 8개 자리 중 한 자리를 고르고 나머지를 채우는 계산을 시작했다. 그런데 한 번, 두 번 나타나는 경우가 겹친다는 사실을 뒤늦게 발견했다. 처음 잘못된 순간은 계산식이 아니라 여사건을 쓸지 직접 셀지 판단하면서 생겼다. 더구나 학생은 ‘7이 나오지 않는 자리’라는 정의를 여백에 적지 않고 곧바로 9⁸을 적어, 무엇을 세고 있는지도 확인하지 못했다.

첫 오류를 한 단계만 복원하기

전체 풀이를 다시 쓰게 하지 않고 종이를 세 줄로 나누었다. 첫째 줄에는 전체 사건, 둘째 줄에는 그 반대 사건, 셋째 줄에는 각 자리의 선택 수를 적었다.

원래 사건: 8자리 중 적어도 한 자리가 7이다.
여사건: 8자리 어느 자리에도 7이 없다.
여사건의 경우의 수: 9×9×9×9×9×9×9×9

그 뒤 학생은 원하는 확률이 여사건의 확률이 아니라는 점을 표시하고, 전체에서 빼도록 고쳤다. 따라서 답은 1−(9/10)⁸이다. 이 교정에서는 8자리 전체를 다시 계산하지 않았다. 틀린 지점인 ‘무엇을 세는가’와 ‘여사건을 확률에서 어떻게 되돌리는가’만 복원했다. 특히 ‘적어도 한 번’이라는 표현에 붙은 반대가 ‘한 번도 없음’이라는 것을 문장으로 먼저 확인하게 했다.

조건을 바꾸고 혼자 판단하기

다음에는 숫자 0부터 5까지를 사용해 8자리 문자열을 만들고, 3이 적어도 한 번 나타날 확률을 물었다. 학생은 전체 경우의 수를 6⁸, 3이 한 번도 나오지 않는 경우를 5⁸로 적은 뒤, 곧바로 1−(5/6)⁸이라고 답했다. 이번에는 특정 숫자가 7에서 3으로 바뀌었고 선택 가능한 숫자의 수가 달라졌지만, 사건의 반대와 자리별 독립 선택을 스스로 연결했다.

이어 조건을 바꿔 ‘3이 정확히 한 번’인 확률도 제시했다. 이 경우에는 여사건으로 처리하지 않고 3이 놓일 자리 8개와 나머지 자리의 선택 5개를 곱해 8×5⁷로 계산해야 한다고 구분했다. 적어도 한 번과 정확히 한 번은 같은 방식으로 읽을 수 없다는 점까지 확인한 셈이다.

답을 원식에 되돌려 검산하기

마지막에는 계산 결과를 소수로 바꾸지 않고 사건별 합으로 점검했다. ‘3이 한 번도 없음’의 경우 수 5⁸과 ‘3이 한 번 이상 있음’의 경우 수 6⁸−5⁸을 더하면 전체 6⁸이 된다. 두 사건이 겹치지 않고 빠지는 경우도 없으므로 확률의 합 역시 1이 된다. 직접 세는 방식으로 정확히 한 번, 두 번 이상을 나누어도 전체가 같은 값으로 돌아오는지 확인하면 여사건 선택이 단순한 암기가 아니었는지 검증할 수 있다.

자주 묻는 질문

여사건은 언제 먼저 떠올리나요?

‘적어도 한 번’, ‘하나 이상’, ‘최소 한 개’처럼 직접 조건을 나누면 겹침이 생기는 표현에서 먼저 검토한다.

8자리면 첫 자리도 0을 허용하나요?

문제가 ‘8자리 자연수’라고 하면 첫 자리에 0을 둘 수 없지만, ‘8자리 문자열’이나 ‘8개의 숫자 배열’이면 허용될 수 있다. 전체 경우의 수부터 문장으로 확인해야 한다.

정확히 한 번도 여사건으로 풀 수 있나요?

가능하지만 ‘한 번도 없음’의 반대가 ‘정확히 한 번’이 아니므로 그대로 빼면 안 된다. 보통 위치를 정해 직접 세거나 여러 사건을 분리한다.

계산 후 무엇을 확인하나요?

원래 사건과 여사건의 경우 수를 더해 전체가 되는지 확인한다. 확률의 합이 1인지 보는 것도 같은 검산이다.