대구남구 중3수학과외

표현이 달라져도 제곱으로 확인하는 중3수학

대구남구에서 중3수학과외를 진행하며 자주 확인하는 부분은 제곱근을 눈에 익은 숫자 모양으로 판단하지 않고, 제곱과 연결해 뜻을 확인하는 습관입니다. 교대역푸르지오트레힐즈와 희망교대성유니드가 있는 생활권, 협성경복중학교와 경일여자중학교가 포함된 지역에서도 문제의 표현이 조금만 바뀌면 같은 관계를 놓치는 경우가 있습니다. 이번 풀이에서는 ‘제곱해서 원래 수가 되는 값’이라는 기준 하나만 살펴보았습니다.

나란히 적은 두 표현

도서관 자습 시간에 학생은 다음 문제를 풀었습니다.

36의 제곱근을 구하고, “어떤 수를 제곱하면 36이 되는가?”라는 질문에 답하여 두 표현이 서로 같은 뜻인지 확인해 보자.

학생은 공책에 먼저 √36=6이라고 적었습니다. 이어서 옆 줄에 “제곱해서 36이 되는 값은 6과 -6”이라고 썼습니다. 여기까지는 제곱근의 뜻을 두 표현으로 연결하려는 풀이였습니다. 학생은 두 문장을 나란히 놓고 “√36에 들어가는 수와 제곱해서 36이 되는 수가 대응하는지” 표시하려고 했습니다.

그런데 다음 문제에서 표현이 바뀌었습니다.

어떤 수를 제곱하여 49가 되었다. 그 수를 고르시오. ① 5　② 6　③ 7　④ 8

학생은 보기의 숫자 모양만 보고 ③을 선택한 뒤, 아래에 7²=49라고 적었습니다. 이 답은 우연히 맞았지만, 같은 유형으로 “제곱해서 49가 되는 수를 모두 쓰시오”라는 질문을 받자 7만 적었습니다. 학생의 기록에는 “√49=7이므로 7”이라고 남아 있었습니다.

결과보다 먼저 어긋난 지점

오답이 나온 가장 첫 판단은 계산이 아니었습니다. 표현이 “√49”에서 “제곱해서 49가 되는 수”로 바뀌었을 때, 학생이 후보를 실제로 제곱해 보지 않고 숫자 모양만 보고 하나를 결정한 것이었습니다. √49를 본 순간 익숙한 7을 떠올린 뒤, 문제의 질문이 ‘제곱근 기호의 값’을 묻는지 ‘제곱하여 원래 수가 되는 값’을 묻는지 다시 확인하지 않았습니다.

따라서 7²=49라는 계산 자체는 맞았지만, 그 계산만으로 7이 유일한 값이라고 판단한 것은 뜻에 맞지 않았습니다. 제곱해서 49가 되는 값인지 확인해야 하므로 -7도 살펴봐야 합니다.

후보를 제곱해 관계를 되살리기

교정에서는 여러 풀이법을 추가하지 않고, 빠진 행동 하나만 넣었습니다. 문제에 나온 원래 수 49를 먼저 적고, 가능한 후보를 각각 제곱했습니다.

7을 제곱하면 7²=49
-7을 제곱하면 (-7)²=49

두 결과가 모두 원래 수 49와 같으므로 “제곱해서 49가 되는 값”에는 7과 -7이 함께 남습니다. 반면 √49라는 표현에 대답할 때에는 기호가 나타내는 값으로 7을 씁니다. 학생은 이 차이를 새로운 공식으로 외운 것이 아니라, 각 표현에 맞는 후보를 제곱해 보며 확인했습니다.

이후 학생은 처음 문제의 두 문장을 다시 읽었습니다. “√36은 6으로 나타내고, 제곱해서 36이 되는 값은 6과 -6이다.” 그리고 6²=36, (-6)²=36을 직접 적어 두 표현이 어떤 관계로 연결되는지 설명했습니다.

질문의 방향을 바꾼 연습

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 질문의 방향과 표현을 바꾼 문제를 제시했습니다.

다음 빈칸에 들어갈 수를 모두 찾아라. □²=64. 이어서 √64가 나타내는 값을 써라.

이번에는 제곱근 기호부터 보지 않고, 먼저 “제곱한 결과가 64가 되는 값”을 찾았습니다. 학생은 후보를 8과 -8로 세워 각각 확인했습니다.

8²=64
(-8)²=64

그다음 두 번째 질문에는 √64=8이라고 적었습니다. 앞 문제의 숫자나 배열을 기억해 옮긴 것이 아니라, ‘제곱해서 원래 수가 되는지’라는 관계를 먼저 선택한 뒤 표현에 맞게 답을 나누었습니다.

힌트 없이 다시 확인한 한 장면

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

어떤 수를 제곱한 결과가 121이다. 그 수를 모두 쓰고, √121의 값을 적어라.

학생은 “제곱해서 121이 되는 후보를 먼저 확인한다”고 풀이 이유를 말한 뒤, 11²=121과 (-11)²=121을 적었습니다. 그래서 첫 답은 11, -11로 정리하고, 두 번째 답은 √121=11로 구분했습니다. 끝으로 두 후보를 다시 제곱해 모두 121이 되는지 검산했습니다. 처음 보는 표현에서도 숫자를 바로 고르지 않고, 제곱한 결과가 원래 수와 같은지를 기준으로 삼은 것입니다. 이런 확인이 대구남구중3수학과외에서 같은 세부개념을 스스로 재현하는 마지막 장면이 되었습니다.

대구남구 중3수학과외 학부모 후기

서술형 숙제를 하던 밤, 아이가 풀이를 다 쓴 뒤 마지막에 다시 볼 문제 번호를 따로 골라 적고 있더라고요. 확인한 곳에는 짧게 표시도 해두었어요. 예전에는 틀린 부분을 발견해도 그 문제의 앞뒤 풀이까지 이어서 살펴보는 모습은 거의 없었거든요. 월요일 아침 가방을 챙기다가 시험지를 우연히 봤는데, 한쪽에 검산할 문제 번호만 따로 모아둔 흔적이 있었습니다. 제가 먼저 묻기도 전이라 의외로 눈에 띄었어요. 대구남구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 변화가 중요한 기준이었는데, 이번에는 답을 맞혔는지만 보는 게 아니라 어느 문제를 다시 확인할지 먼저 정해둔 점이 눈에 들어왔습니다. 숙제에서도 같은 식으로 검산할 번호를 남겨두고, 실제로 확인한 지점까지 짧게 표시해 놓았어요. 시험지와 숙제에서 번호를 골라 다시 볼 곳을 구분한 게 전과는 달랐습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 행사가 있었던 날 저녁, 아이가 문제집을 정리하다가 한 문제만 따로 접어 두더라고요. 답은 맞았는데 계산 과정을 다시 확인하지 못했다는 이유였어요. 맞힌 문제라 그냥 지나칠 줄 알았는데, 검산이 빠진 부분을 따로 챙기는 모습이 조금 새롭게 보이더라고요. 예전에는 어디에서 막혔는지 짧게라도 적어 두는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 해당 문제 옆에 확인하지 못한 지점을 표시해 두었어요. 대구남구 수학과외 이야기를 나누며 문제집을 펼쳐 보던 중이라 저도 자연스럽게 보게 됐습니다. 시험 계획을 적던 날에는 검산이 필요한 문제들만 다시 골라 표시하더라고요. 필요한 위치까지 짚어 둔 뒤에는 그 문제에 계속 매달리지 않고 다음 일정으로 넘어갔고요. 답을 맞혔는지만 보던 때와 달리, 계산을 끝까지 확인했는지도 따로 살피고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

다른 빈칸 문제를 풀어 놓은 걸 보다가 계산 실수를 짧게 적어 둔 흔적이 눈에 띄었어요. 한 부분을 다시 살펴본 뒤에는 다른 내용까지 덧붙이지 않고, 그 계산에 관한 문장만 남겨 두었더라고요. 예전에는 문제를 다 풀고 나면 다음에 확인할 만한 표시를 따로 남기는 일이 없었습니다. 시험지를 파일에 넣어 정리하던 날에도 책상 위 문제집을 펼쳐 보게 됐어요. 맨 뒤쪽에 아이가 자주 틀리는 계산 습관을 짧게 적어 둔 게 보였거든요. 대구남구 수학과외를 알아보며 여러 자료를 정리하던 때라 더 눈에 띄었는데, 예전처럼 풀이를 그냥 지나친 게 아니라 반복되는 부분을 자기 말로 남겨 둔 모습이었습니다. 긴 설명을 적은 것도 아니고, 필요한 계산 한 부분만 다시 확인한 자국이 분명했어요.

★★★★★학부모 후기

학원 일정이 늦게 끝난 날에도 대구남구 수업에서 아이가 흐트러지지 않고 틀린 문제를 다시 살펴보는 모습이 기억에 남았습니다. 문제 수가 많으면 시작부터 부담스러워하던 아이에게 선생님은 다음 시간까지 할 일을 짧게 나누어 알려 주고, 스스로 이어 갈 여유도 남겨 주셨습니다. 주말 계획이 밀려도 다시 조정해 공부하는 모습이 자연스러워져 부모로서 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

늦은 시간까지 숙제가 남은 날에도 예전처럼 불안해하지 않고 할 수 있는 문제부터 차분히 시작하는 모습이 눈에 띄었습니다. 대구남구 수학과외 선생님은 진도를 서두르기보다 이해한 만큼만 숙제를 나눠 주셔서 아이가 질문도 조금씩 편하게 하게 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기

대구남구에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 문제 하나에 막히면 금세 지쳐 숙제를 몰아서 하곤 했습니다. 선생님은 틀린 답보다 풀이 과정을 먼저 말하게 하고, 모르는 부분을 편하게 질문하도록 이끌어 주셨습니다. 요즘은 수업 전 질문할 문제를 골라두고 시험기간에도 스스로 공부할 양을 확인해 시작하는 모습이 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기