대구남구 중1수학과외
곱셈 형태가 달라져도 소수와 합성수를 구별하는 연습
대구남구과외 수업에서 중1 학생의 오답노트를 함께 살펴보던 중, 소수와 합성수를 판단하는 과정에서 표현이 바뀌면 기준을 놓치는 장면이 확인됐다. 교대역푸르지오트레힐즈와 희망교대성유니드가 있는 생활권, 그리고 협성경복중학교가 포함된 지역에서 자주 접할 수 있는 서술형 문제와 비슷한 유형이었다.
문제는 “18을 소수인지 합성수인지 판단하고, 그 이유를 쓰시오”였다. 학생은 답안에 18=2×3×3을 적은 뒤 “소수”라고 결론 내렸다. 곱셈식으로 바꾸는 과정 자체는 정확했지만, 곱셈식에 나타난 수의 개수와 원래 수의 성질을 연결하는 판단에서 답이 어긋났다.
오답이 시작된 한 줄을 되짚다
학생은 오답노트에 18의 오른쪽에 2, 3, 3을 차례로 표시했다. 그러나 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지며, 합성수는 그 밖의 약수를 갖는다는 조건을 먼저 적지 않았다. 머릿속에서 “인수가 3개로 반복되면 소수에 가까울 수 있다”라고 잘못 판단한 것이 최초의 오류였다. 지수로 표현하면 18은 2×3²이지만, 지수의 모양은 소수·합성수를 결정하는 기준이 아니다.
교정할 때는 이미 맞게 해 놓은 곱셈식은 그대로 두고, 식 아래에 판단 기준만 다시 썼다.
18=2×3×3이므로 1과 18 이외에도 2와 3으로 나누어진다. 따라서 18은 합성수이다.
이어 2×3²을 다시 2×3×3으로 풀어 썼다. 표현이 달라져도 원래 수 18로 돌아온다는 점을 확인하자, 인수와 지수의 모양이 아니라 약수가 더 있는지를 보아야 한다는 판단이 분명해졌다. 1과 자기 자신만으로 나타나는 2, 3, 5는 소수이고, 4=2×2, 12=2×2×3처럼 다른 수의 곱으로 나타나는 수는 합성수라는 예도 같은 기준으로 정리했다.
식이 아닌 설명으로 바꾸어 판단하기
다음 활동에서는 단순히 숫자만 바꾸지 않고 문제의 외형을 바꾸었다. “어떤 자연수는 2²×5로 나타난다. 이 수가 소수인지 합성수인지, 곱셈식을 계산하지 않고 설명하시오”라는 문장을 제시했다. 학생은 먼저 2²을 2×2로 바꾸고, 전체를 2×2×5로 읽었다. 그런 다음 “1과 자기 자신 외에 2와 5가 약수가 되므로 합성수”라고 문장으로 답했다.
이번에는 반대로 표를 보여 주고 설명을 완성하게 했다.
- 수: 7 / 표현: 7 / 판단: 소수
- 수: 15 / 표현: 3×5 / 판단: 합성수
- 수: 32 / 표현: 2⁵ / 판단: 합성수
학생은 32를 보고 지수 5만으로 판단하지 않고, 2⁵을 2×2×2×2×2로 되돌렸다. 2가 약수로 반복되므로 1과 32 외의 약수가 있다는 이유를 적었다. 표현을 바꾸어도 원래 수와 약수의 관계를 확인하는 흐름은 유지됐다.
힌트 없이 새 조건에서 다시 세운 풀이
독립 적용 문제는 “45를 3²×5로 나타냈을 때, 소수인지 합성수인지 판단하고 풀이 과정을 서술하시오”였다. 학생은 별도의 표시나 질문 없이 먼저 3²×5=3×3×5라고 적었다. 이어 “45는 1과 45만으로 나누어지는 수가 아니다. 3과 5가 약수이므로 합성수이다”라고 설명했다.
검산을 요구하자 학생은 다시 곱셈을 계산해 45가 원래 수와 같음을 확인했다. 이어 3²×5라는 표현을 9×5로 바꾸어도 결과가 45이고, 어느 표현에서도 3과 5를 약수로 찾을 수 있다고 말했다. 반대로 11은 다른 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 없고 약수가 1과 11뿐이므로 소수라고 비교했다.
대구남구중1수학과외 수업에서 확인한 핵심은 식의 겉모양을 외우는 것이 아니었다. 곱셈식이나 지수 표현을 만나도 원래 수로 되돌리고, 1과 자기 자신 이외의 약수가 있는지 조건에 따라 판단한 뒤 그 근거를 문장으로 검산하는 과정이었다.