달서구 중3수학과외

달서구 중3수학과외에서 살펴본 ‘제곱해서 원래 수가 되는 값’

달서구과외 수업에서 제곱근을 단순히 기호로 외우지 않고, 제곱의 결과와 직접 연결해 확인하는 문제를 다뤘습니다. 월성주공2단지와 레이크뷰행복작은도서관이 있는 생활권, 그리고 조암중학교·월서중학교가 포함된 지역에서 중3수학 문제를 풀 때도 제곱근의 기준은 하나입니다. 어떤 수를 제곱했을 때 주어진 수가 되는가를 끝까지 확인해야 합니다.

답안에 남은 두 줄의 차이

문제는 다음과 같았습니다.

다음 수의 제곱근을 모두 쓰고, 제곱근의 개수를 설명하여라.
① 49　② 0　③ -9

학생은 먼저 ①에 대해 다음과 같이 적었습니다.

49의 제곱근은 7이다. 왜냐하면 7²=49이기 때문이다.

7을 제곱해 49가 된다는 확인 자체는 맞았습니다. 하지만 ‘모두 쓰라’는 질문에 한 후보만 적은 상태였습니다. 이어서 ②에는 “0의 제곱근은 0과 -0, 두 개이다.”라고 작성했고, ③에는 “-9의 제곱근은 -3이다.”라고 적었습니다.

풀이 기록을 함께 읽어 보니 계산을 틀린 것이 먼저가 아니었습니다. 학생은 제곱근을 결정할 때 후보를 제곱해 보지 않고, 숫자의 모양과 익숙한 규칙만 보고 판단했습니다. 특히 음수인 -9를 보고 -3을 바로 골랐습니다. 그러나 (-3)²=9이므로 원래 수 -9가 되지 않습니다. 가장 먼저 어긋난 판단은 주어진 수와 후보를 제곱한 결과가 같은지 확인하지 않은 것이었습니다.

판단이 바뀌는 지점만 고치기

풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 후보를 실제로 제곱하는 행동 하나만 바꾸었습니다. 49에서는 후보 7뿐 아니라 -7도 적은 뒤 각각 확인했습니다.

• 7²=49
• (-7)²=49

따라서 49의 제곱근은 7과 -7입니다. 0은 후보 0을 확인하면 0²=0이고, -0은 0과 같은 수이므로 제곱근을 두 개로 세지 않습니다. 제곱해서 0이 되는 값은 0 하나입니다.

③에서는 -3을 고른 뒤 즉시 제곱했습니다.

(-3)²=9, 따라서 -9가 아니다.

어떤 실수도 제곱하면 음수가 될 수 없으므로 -9를 제곱해서 얻는 값은 존재하지 않습니다. 여기서 중요한 것은 새로운 공식을 추가하는 일이 아니라, 각 후보가 정말 원래 수를 만드는지 확인하는 것입니다. 달서구중3수학과외에서도 이처럼 틀린 계산보다 앞선 선택의 근거를 먼저 찾아 고칩니다.

질문의 방향과 조건을 바꿔 다시 확인하기

같은 기준을 유지한 채 표현을 바꾼 문제를 제시했습니다.

어떤 수 a에 대하여 a²=16이다.
① 가능한 a를 모두 구하여라.
② a²=0일 때 가능한 a를 구하여라.
③ a²=-4가 되도록 하는 실수가 있는지 설명하여라.

이번에는 ‘16의 제곱근’을 찾는 대신, 제곱 결과가 먼저 주어졌습니다. 학생은 a=4만 쓰지 않고 다음처럼 후보를 나누어 적었습니다.

• 4²=16이므로 a=4 가능
• (-4)²=16이므로 a=-4 가능

②에서는 0²=0이므로 a=0 하나라고 했습니다. ③에서는 양수나 음수를 제곱한 결과는 음수가 될 수 없으므로 조건을 만족하는 a가 없다고 설명했습니다. 질문의 방향이 바뀌고 조건이 식의 뒤에 놓였지만, ‘제곱해서 원래 결과가 되는가’라는 기준은 바뀌지 않았습니다.

힌트 없이 남긴 최종 답안

마지막에는 다음 문제를 도움 없이 풀었습니다.

제곱근의 개수가 2개인 수와 1개인 수를 각각 하나씩 예로 들고, 제곱을 이용해 이유를 설명하여라. 또 제곱근이 없는 수의 예도 하나 제시하여라.

학생은 25, 0, -1을 선택했습니다. 25에 대해서는 5²=25, (-5)²=25이므로 제곱근이 5와 -5, 두 개라고 썼습니다. 0에 대해서는 0²=0뿐이므로 하나라고 설명했습니다. -1에 대해서는 어떤 수를 제곱해도 음수가 되지 않으므로 제곱해서 -1이 되는 후보가 없다고 적었습니다.

마지막으로 각 답을 다시 제곱해 원래 수와 일치하는지 확인했습니다. 숫자 모양이 아니라 제곱 결과를 기준으로 판단하고, 0과 음수라는 경계 조건도 따로 설명한 점에서 제곱근의 뜻을 스스로 재현했습니다.