달서구 중1수학과외
소수와 합성수를 가르는 한 가지 기준
달서구과외 수업에서 중1 학생과 단원평가 문제를 풀던 중, 학생은 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 찾는 문제에서 연달아 멈췄다. 월성주공2단지와 대구월배2차IPARK가 있는 생활권, 월서중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 단원평가 대비 문제였지만, 이번 수업의 초점은 풀이량이 아니라 소수와 합성수를 구별할 때 경계 조건을 놓치지 않는 것이었다.
학생의 한 줄에서 시작된 오답
문제에는 다음과 같이 제시되어 있었다.
1부터 12까지의 자연수 중 소수와 합성수를 각각 모두 쓰고, 1은 어떻게 분류되는지 설명하여라.
학생은 수직선을 그린 뒤 2, 3, 5, 7, 11에는 동그라미를, 4, 6, 8, 9, 10, 12에는 세모를 표시했다. 이어서 답안에 “소수는 약수가 두 개, 합성수는 약수가 세 개 이상인 수”라고 적었다. 1에는 아무 표시도 하지 않았다.
풀이가 어긋난 최초의 판단은 1을 다른 수와 같은 규칙으로 분류하려 한 것이었다. 학생은 “약수가 두 개가 아니니까 합성수”라고 생각했지만, 합성수는 약수가 세 개 이상인 수여야 한다. 1의 약수는 1 하나뿐이므로 소수도 합성수도 아니다. 답만 고치는 대신, 1부터 12까지의 수 옆에 약수의 개수를 직접 적어 판단 근거를 확인했다.
- 1: 약수 1개
- 2, 3, 5, 7, 11: 약수 2개
- 4, 6, 8, 9, 10, 12: 약수 3개 이상
그 뒤 학생은 합성수인 수를 곱셈으로도 다시 나타냈다. 4는 2×2, 6은 2×3, 8은 2×4, 9는 3×3, 10은 2×5, 12는 3×4로 적었다. 곱셈으로 나타낼 수 있는 두 자연수가 모두 1과 자기 자신이 아닌 경우 합성수라는 점을 확인하면서, 약수의 개수와 곱셈 표현을 연결했다.
표현을 바꿔도 같은 판단을 하는 연습
다음 문제에서는 숫자를 단순히 바꾸지 않고 질문의 모양을 바꾸었다.
어떤 수의 소인수분해가 2×2×3으로 나타난다. 이 수가 소수인지 합성수인지, 곱셈식으로 바꾸어 설명하여라.
학생은 곧바로 “2와 3이 있으니 소수”라고 답하려 했다. 그러나 이번에는 문제의 조건에 밑줄을 긋고, 2×2×3을 먼저 계산해 12로 바꾸었다. 12는 1×12 이외에도 2×6, 3×4로 나타낼 수 있으므로 약수가 두 개보다 많다. 따라서 합성수라고 설명했다.
이어 표의 대응값을 보고 분류하는 문제도 풀었다.
- 수 1: 약수 1개
- 수 2: 약수 2개
- 수 13: 약수 2개
- 수 15: 3×5
학생은 표의 숫자만 보고 판단하지 않고, 먼저 “약수가 정확히 두 개인가?”, “1과 자기 자신 외의 곱셈 표현이 있는가?”를 차례로 물었다. 1은 별도 표시하고, 2와 13은 소수, 15는 합성수로 분류했다. 표현이 약수 목록에서 곱셈식과 표로 바뀌었지만, 소수와 합성수를 가르는 기준은 그대로 적용했다.
힌트 없이 다시 세운 최종 풀이
수업 후반에는 다음 조건만 제시하고 풀이 방향을 알려 주지 않았다.
24, 29, 31, 1을 소수·합성수·어느 쪽도 아님으로 나누고, 각 판단의 이유를 적어라.
학생은 먼저 1에 별표를 하며 “약수가 1개이므로 어느 쪽도 아니다”라고 적었다. 29와 31은 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는지 확인해 소수로 분류했다. 24는 2×12, 3×8로 나타내어 합성수라고 판단했다.
검산 단계에서 학생은 답만 다시 읽지 않고 각 수를 원래 조건에 대입하듯 확인했다. 24의 약수에는 1과 24 외에 2, 3, 4, 6, 8, 12가 있으므로 합성수이고, 29와 31에는 1과 자기 자신 외의 약수가 없으므로 소수라는 근거를 설명했다. 마지막으로 “약수가 두 개면 소수, 세 개 이상이면 합성수, 약수가 한 개면 어느 쪽도 아니다”라고 경계 조건까지 스스로 정리했다.
달서구중1수학과외 수업에서는 이처럼 소수와 합성수를 단순 암기하지 않고, 수의 약수와 곱셈 표현을 번갈아 확인하며 판단이 시작되는 지점을 점검한다. 특히 1처럼 규칙의 경계에 놓인 수를 따로 검토하고, 다른 형태로 제시된 문제에서도 같은 기준을 다시 세우는 과정을 중심에 둔다.