달서구 중2수학과외
달서구 중2수학과외에서 확인한 유한소수와 무한소수의 경계
달서구과외 수업에서 학생은 월성주공2단지가 있는 생활권과 새하늘작은도서관 인근 생활권의 문제지에 표시된 분수들을 차례로 분류했다. 문제는 단순히 소수의 자릿수를 세는 유형이 아니라, 분수를 소수로 바꾸지 않고도 유한소수인지 무한소수인지 판단하는 내용이었다. 조암중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 중2 문제 형식처럼, 보기에는 정수와 분수, 이미 소수로 나타난 수가 함께 섞여 있었다.
첫 식에서 드러난 한 줄의 혼동
학생은 18/45를 보고 먼저 분모 45를 확인한 뒤 “3과 5로 이루어졌으므로 유한소수”라고 적었다. 이어 7/12에는 분모에 3이 있으니 무한소수라고 표시했고, 11/25는 분모가 5의 배수라서 유한소수라고 판단했다. 계산을 줄이려고 18/45를 바로 0.4로 쓰려 했지만, 18과 45를 약분하는 과정은 보류한 상태였다.
이때 풀이가 어긋난 최초의 판단은 분모를 약분하기 전 그대로 보고 유한소수 조건을 적용한 것이었다. 유한소수의 조건과 순환소수의 조건을 섞어 생각하면서, 분모에 3이 있어도 약분으로 사라질 수 있다는 점을 확인하지 않았다. 따라서 18/45의 분모 45만 보고 판단한 한 줄이 뒤의 분류를 흔들었다.
유한소수인지 판단할 때는 원래 분모가 아니라 기약분수로 고친 뒤의 분모만 본다.
약분 뒤 분모의 인수만 확인하기
교정은 한 가지로 제한했다. 학생이 이미 적어 둔 약분 과정은 그대로 살리고, 분모를 확인하는 순서만 앞세웠다. 18/45는 분자와 분모를 9로 나누어 2/5로 고쳤다. 이제 분모에는 2와 5만 남으므로 유한소수이고, 실제로 0.4가 된다. 반면 7/12는 더 약분되지 않으며 12=2×2×3이므로 3이 남는다. 따라서 유한한 자리에서 끝나지 않고 순환되는 무한소수이다. 11/25는 분모가 5만으로 이루어져 0.44로 끝난다.
- 2/5 → 유한소수
- 7/12 → 3이 남으므로 무한소수
- 11/25 → 유한소수
- 9/40 → 분모가 2와 5만으로 이루어져 유한소수
학생은 각 분수 옆에 약분 여부를 먼저 표시하고, 기약분수의 분모에서 2와 5 이외의 소수가 남는지 동그라미로 확인했다. 소수로 직접 나누어 긴 계산을 하는 대신, 조건을 이용해 분류한 뒤 유한소수로 판단한 것만 짧게 나눗셈으로 검산했다.
표현과 질문이 바뀐 독립 적용
다음 문제에서는 분수가 아니라 소수 표현과 조건문이 제시됐다.
0.272727…과 0.28 중 유한소수인 것을 고르고, 분수 45/125를 소수로 나타내시오. 단, 분수의 분자와 분모가 서로 약분되는 경우를 먼저 처리한다.
학생은 반복되는 27 위에 표시를 하며 0.272727…은 어느 자리에서 끝나는 수가 아니므로 무한소수라고 적었다. 0.28은 소수점 뒤 두 자리에서 끝나므로 유한소수로 분류했다. 이어 45/125는 5로 나누어 9/25로 만든 뒤, 분모가 5만으로 이루어졌다는 근거를 적고 0.36을 구했다. 질문의 순서가 “소수의 종류를 고르라”에서 “기약분수로 고친 뒤 나타내라”로 바뀌었지만, 학생은 먼저 반복 여부를 보고 분수에서는 약분부터 확인했다.
이번에는 부호가 포함된 -14/35와 조건의 위치가 바뀐 문장도 제시했다. 학생은 마이너스 부호는 소수의 종류를 바꾸지 않는다고 따로 표시하고, 14/35를 2/5로 약분한 뒤 -0.4라고 썼다. 부호와 분모 조건을 한꺼번에 처리하지 않고, 부호는 값의 방향에만 관계하고 유한·무한 여부는 기약분수의 분모가 결정한다는 이유를 풀이 옆에 남겼다.
힌트 없이 경계 안팎을 재현한 검산
수업 후반에는 도움 없이 다음 두 문제를 풀었다.
- 23/50이 유한소수인지 판단하고 이유를 쓰시오.
- 13/30이 유한소수인지 판단하고, 소수 표현에서 나타나는 특징을 설명하시오.
학생은 첫 문제에서 “이미 기약분수이고 분모 50=2×5×5이므로 유한소수”라고 먼저 판단한 뒤 0.46을 계산했다. 13/30은 약분되지 않고 30=2×3×5이므로 3이 남는다고 적었다. 이어 13÷30의 소수 표현이 0.4333…이 되어 3이 반복된다는 점을 직접 확인했다.
마지막 검산에서 학생은 “분모에 2와 5만 남으면 유한소수, 그 밖의 소수가 하나라도 남으면 무한소수이며, 약분 전 분모만 보고 판단하면 안 된다”고 설명했다. 경계에 해당하는 2와 5만 있는 경우와 3이 포함된 경우를 나누어 근거까지 말했으므로, 새로운 표현에서도 처음 판단과 검산을 스스로 재현했다. 이러한 과정을 중심으로 달서구중2수학과외 수업에서는 소수의 모양보다 기약분수의 분모 조건을 먼저 읽도록 풀이 장면을 정리했다.