삼덕동 중3수학과외
삼덕동 중3수학과외, 전개식의 빈틈을 찾은 한 장면
삼덕동과외를 진행하며 화성그랜드파크 도서관 함지원 인근 생활권에서 자습한 풀이 기록을 함께 살펴보았습니다. 성명여자중학교, 계성중학교, 대구제일중학교가 포함된 생활권에서 중3수학과외를 찾는 학생이라면 다항식의 곱셈에서 계산 속도보다 먼저 확인할 기준이 필요합니다. 이번 시간의 범위는 두 다항식을 곱할 때 한쪽의 모든 항이 다른 쪽의 모든 항과 한 번씩 연결되는지 확인하는 것으로 한정했습니다.
짧은 풀이가 놓친 한 항
학생에게 다음 식을 제시했습니다.
(x+3)(2x²-x+4)를 전개하여 하나의 다항식으로 나타내시오.
학생은 문제에서 괄호 안의 첫 항부터 계산하는 습관대로 다음처럼 적었습니다.
x·2x²=2x³
x·(-x)=-x²
3·4=12
따라서 2x³-x²+12
겉으로는 계산 과정이 간단했지만, 결과를 정리하기 전에 식을 다시 살펴보니 x와 4의 곱, 3과 2x²의 곱, 3과 -x의 곱이 빠져 있었습니다. 특히 처음 틀어진 지점은 마지막에 계산을 잘못한 것이 아니라, 예제에서 보았던 곱셈 순서를 따라가며 각 항의 연결을 끝까지 확인하지 않은 판단이었습니다. ‘앞의 항끼리, 뒤의 항끼리만 곱한다’고 생각한 순간 전개가 이미 불완전해진 것입니다.
계산을 바꾸지 않고 연결표만 세우기
교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 곱셈을 시작하기 전에 왼쪽 괄호의 항을 하나씩 세로로 적고, 오른쪽 괄호의 세 항과 모두 연결했습니다.
- x와 2x²의 곱은 2x³
- x와 -x의 곱은 -x²
- x와 4의 곱은 4x
- 3과 2x²의 곱은 6x²
- 3과 -x의 곱은 -3x
- 3과 4의 곱은 12
학생은 이미 맞게 계산했던 2x³과 -x², 12를 그대로 두고 빠진 네 항만 보완했습니다.
2x³-x²+4x+6x²-3x+12
=2x³+5x²+x+12
여기서 사용한 기준은 여러 가지 풀이법이 아니라 하나였습니다. 왼쪽의 각 항이 오른쪽의 모든 항과 연결되었는가를 확인한 뒤에만 같은 종류의 항을 모으는 것입니다. -x²와 6x², 4x와 -3x를 정리할 때도 새로운 개념을 끌어오지 않고, 빠짐없이 적은 곱을 보기 좋게 모으는 데 그쳤습니다.
모양을 바꾼 새 식에 적용하기
다음에는 앞의 식과 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 항의 배열과 괄호의 모양을 다르게 제시했습니다.
(3y²-2y+1)(y-5)를 전개한 뒤, y²의 계수를 쓰시오.
이번에는 학생이 먼저 두 번째 괄호의 y와 -5를 기준으로 표를 만들었습니다.
- 3y²·y=3y³, 3y²·(-5)=-15y²
- -2y·y=-2y², -2y·(-5)=10y
- 1·y=y, 1·(-5)=-5
전개 결과는 3y³-17y²+11y-5입니다. 질문은 y²의 계수였지만, 학생은 중간 항만 골라 계산하지 않고 먼저 여섯 연결을 모두 적었습니다. 그 결과 -15y²와 -2y²를 합쳐 -17이라는 답을 얻었습니다. 부호가 다른 곱인 -2y·(-5)=10y도 두 부호를 직접 확인해 적었기 때문에 빠뜨리지 않았습니다.
힌트 없이 다시 확인한 풀이
일주일 뒤에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.
(2a-1)(a²-3a+2)를 전개하고, a=2를 대입해 원래 곱셈식과 같은 값인지 확인하시오.
학생은 먼저 여섯 곱을 적었습니다.
2a·a²=2a³, 2a·(-3a)=-6a², 2a·2=4a
-1·a²=-a², -1·(-3a)=3a, -1·2=-2
따라서 전개식은 2a³-7a²+7a-2입니다. 학생은 전개식에 a=2를 대입해 16-28+14-2=0을 계산했고, 원래 식에도 대입했습니다.
(2×2-1)(2²-3×2+2)=3×0=0
두 값이 같다는 사실만 적지 않고, “첫 번째 괄호의 두 항이 두 번째 괄호의 세 항과 모두 연결되었고, 대입 결과도 원래 식과 전개식에서 각각 0이므로 전개 과정에 빠진 곱이 없다”고 설명했습니다. 숫자와 식의 모양이 달라져도 항별 연결이라는 기준을 스스로 선택한 장면이었습니다.