삼덕동 중3수학과외

삼덕동 중3수학과외, 전개식의 빈틈을 찾은 한 장면

이번 시간의 범위는 두 다항식을 곱할 때 한쪽의 모든 항이 다른 쪽의 모든 항과 한 번씩 연결되는지 확인하는 것으로 한정했습니다.

짧은 풀이가 놓친 한 항

학생에게 다음 식을 제시했습니다.

(x+3)(2x²-x+4)를 전개하여 하나의 다항식으로 나타내시오.

학생은 문제에서 괄호 안의 첫 항부터 계산하는 습관대로 다음처럼 적었습니다.

x·2x²=2x³
x·(-x)=-x²
3·4=12
따라서 2x³-x²+12

겉으로는 계산 과정이 간단했지만, 결과를 정리하기 전에 식을 다시 살펴보니 x와 4의 곱, 3과 2x²의 곱, 3과 -x의 곱이 빠져 있었습니다. 특히 처음 틀어진 지점은 마지막에 계산을 잘못한 것이 아니라, 예제에서 보았던 곱셈 순서를 따라가며 각 항의 연결을 끝까지 확인하지 않은 판단이었습니다. ‘앞의 항끼리, 뒤의 항끼리만 곱한다’고 생각한 순간 전개가 이미 불완전해진 것입니다.

계산을 바꾸지 않고 연결표만 세우기

교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 곱셈을 시작하기 전에 왼쪽 괄호의 항을 하나씩 세로로 적고, 오른쪽 괄호의 세 항과 모두 연결했습니다.

• x와 2x²의 곱은 2x³
• x와 -x의 곱은 -x²
• x와 4의 곱은 4x
• 3과 2x²의 곱은 6x²
• 3과 -x의 곱은 -3x
• 3과 4의 곱은 12

학생은 이미 맞게 계산했던 2x³과 -x², 12를 그대로 두고 빠진 네 항만 보완했습니다.

2x³-x²+4x+6x²-3x+12
=2x³+5x²+x+12

여기서 사용한 기준은 여러 가지 풀이법이 아니라 하나였습니다. 왼쪽의 각 항이 오른쪽의 모든 항과 연결되었는가를 확인한 뒤에만 같은 종류의 항을 모으는 것입니다. -x²와 6x², 4x와 -3x를 정리할 때도 새로운 개념을 끌어오지 않고, 빠짐없이 적은 곱을 보기 좋게 모으는 데 그쳤습니다.

모양을 바꾼 새 식에 적용하기

다음에는 앞의 식과 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 항의 배열과 괄호의 모양을 다르게 제시했습니다.

(3y²-2y+1)(y-5)를 전개한 뒤, y²의 계수를 쓰시오.

이번에는 학생이 먼저 두 번째 괄호의 y와 -5를 기준으로 표를 만들었습니다.

• 3y²·y=3y³, 3y²·(-5)=-15y²
• -2y·y=-2y², -2y·(-5)=10y
• 1·y=y, 1·(-5)=-5

전개 결과는 3y³-17y²+11y-5입니다. 질문은 y²의 계수였지만, 학생은 중간 항만 골라 계산하지 않고 먼저 여섯 연결을 모두 적었습니다. 그 결과 -15y²와 -2y²를 합쳐 -17이라는 답을 얻었습니다. 부호가 다른 곱인 -2y·(-5)=10y도 두 부호를 직접 확인해 적었기 때문에 빠뜨리지 않았습니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

일주일 뒤에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

(2a-1)(a²-3a+2)를 전개하고, a=2를 대입해 원래 곱셈식과 같은 값인지 확인하시오.

학생은 먼저 여섯 곱을 적었습니다.

2a·a²=2a³, 2a·(-3a)=-6a², 2a·2=4a
-1·a²=-a², -1·(-3a)=3a, -1·2=-2

따라서 전개식은 2a³-7a²+7a-2입니다. 학생은 전개식에 a=2를 대입해 16-28+14-2=0을 계산했고, 원래 식에도 대입했습니다.

(2×2-1)(2²-3×2+2)=3×0=0

두 값이 같다는 사실만 적지 않고, “첫 번째 괄호의 두 항이 두 번째 괄호의 세 항과 모두 연결되었고, 대입 결과도 원래 식과 전개식에서 각각 0이므로 전개 과정에 빠진 곱이 없다”고 설명했습니다. 숫자와 식의 모양이 달라져도 항별 연결이라는 기준을 스스로 선택한 장면이었습니다.