동인동 중3수학과외

동인동 중3수학과외에서 확인한 전개의 연결

동인동과외 수업에서 다항식의 곱셈을 다룰 때는 식을 빠르게 펼치는 것보다 각 항이 다른 식의 모든 항과 한 번씩 연결되는지를 확인하는 데 초점을 맞춥니다. 힐스테이트동인더스카이와 대구역센트럴대원칸타빌이 있는 생활권에서 중3수학을 공부하는 학생이라면, 계수와 부호가 달라지는 순간에도 같은 원리를 유지해야 합니다.

나란히 놓인 두 표현에서 빠진 연결

교과서 문제는 다음과 같았습니다.

(2x+3)(x-4)를 전개하여 간단히 하시오.

학생은 식 옆에 다음과 같이 적었습니다.

2x·x=2x², 3·(-4)=-12 → 2x²-12

계산한 두 곱 자체는 틀리지 않았지만, 앞 식의 첫 번째 항 2x는 뒤 식의 두 항 x와 -4에 모두 곱해져야 하고, 두 번째 항 3도 역시 두 항과 연결되어야 합니다. 즉, 확인 대상은 ‘곱해져야 하는 항, 계수, 부호’였습니다. 그런데 학생은 표현을 바로 전개하는 과정에서 2x와 -4의 곱, 3과 x의 곱을 적지 않았습니다.

오답인 2x²-12가 나온 뒤의 계산이 최초 문제는 아니었습니다. 가장 먼저 어긋난 판단은 괄호 안의 항을 서로 한 번씩만 짝짓지 않고, 눈에 띄는 두 항만 골라 곱해도 된다고 본 것입니다. 이 판단 때문에 -8x와 3x가 처음부터 빠졌습니다.

항별 곱을 모두 적은 한 번의 수정

교정은 풀이 습관 전체를 바꾸는 것이 아니라, 빠진 연결을 눈으로 남기는 한 행동으로 진행했습니다. 두 괄호의 항을 줄로 나누어 다음처럼 적었습니다.

2x·x=2x²
2x·(-4)=-8x
3·x=3x
3·(-4)=-12

그 다음 네 결과를 더해

2x²-8x+3x-12=2x²-5x-12

로 정리했습니다. 여기서 -8x와 3x를 합친 것은 전개가 끝난 뒤의 정리이고, 네 항을 빠짐없이 만든 것이 핵심입니다. 이전에 맞았던 2x²와 -12 계산은 그대로 유지하면서, 누락된 두 곱만 추가했습니다.

표현을 바꾸어도 관계가 이어지는가

며칠 뒤에는 괄호가 앞뒤로 같은 모양으로 놓이지 않은 문제를 제시했습니다.

(5-a)(2a+1)을 전개하고, a=2일 때 원래 식과 전개한 식의 값을 비교하시오.

이번에는 첫 괄호의 5와 -a를 각각 둘째 괄호의 2a와 1에 연결했습니다.

5·2a=10a, 5·1=5
(-a)·2a=-2a², (-a)·1=-a

따라서 전개식은 -2a²+9a+5입니다. 이 문제는 앞서 본 (2x+3)(x-4)의 숫자만 바꾼 것이 아닙니다. 두 번째 항이 음의 문자항이고, 문자의 위치와 계수의 결합 순서가 달라졌으며, 전개 결과를 특정 값으로 확인하는 방식까지 포함했습니다. 그래도 판단 기준은 동일하게 모든 항의 연결을 빠짐없이 만드는 것입니다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막에는 도움 없이 다음 식을 풀도록 했습니다.

(3y-2)(y+4)-(y-1)(2y+3)을 전개하여 하나의 다항식으로 나타내시오.

학생은 먼저 첫 곱에서 네 연결을 적었습니다.

3y·y=3y², 3y·4=12y,
(-2)·y=-2y, (-2)·4=-8

그래서 첫 부분은 3y²+10y-8이 되었습니다. 이어 두 번째 곱도 따로 네 연결을 만들었습니다.

y·2y=2y², y·3=3y,
(-1)·2y=-2y, (-1)·3=-3

두 번째 부분은 2y²+y-3이고, 앞의 빼기까지 반영하면

3y²+10y-8-(2y²+y-3)=y²+9y-5

입니다. 학생은 “두 괄호를 각각 전개한 뒤 두 번째 결과 전체에 마이너스를 적용했다”고 풀이 이유를 설명했습니다. 검산으로 y=1을 대입하자 원래 식은 (3-2)(5)-(0)(5)=5, 전개식도 1+9-5=5가 되었습니다. 처음 보는 배열에서도 항별 연결을 스스로 선택하고, 전개 전후의 값을 비교해 결과를 확인한 장면입니다.

동인동중3수학과외에서는 이처럼 식의 모양이 바뀌어도 특정 숫자나 배열을 외우게 하지 않고, 각 항이 상대 괄호의 모든 항과 연결되는지 확인하게 합니다.