칠성동 중3수학과외

칠성동 중3수학과외, √(a²)의 부호를 끝까지 확인하는 풀이

칠성동과외 수업에서 경명여자중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 제곱근 문제를 풀다가 짧은 식 하나에서 멈췄습니다. 대구역 서희스타힐스와 모퉁이작은도서관 인근 생활권에서 중3수학을 공부할 때 자주 만나는 유형이지만, 계산 자체보다 √(a²)의 값에서 a의 부호를 확인하는 판단이 핵심인 문제였습니다.

문제: a=-6일 때 √(a²)의 값을 구하여라.

학생은 먼저 문제에서 a=-6을 확인하고 다음처럼 적었습니다.

a=-6이므로 √(a²)=a=-6

겉으로는 a의 값을 바로 대입한 것처럼 보였지만, √(a²)의 값은 제곱한 수의 양의 제곱근을 뜻합니다. 따라서 제곱한 결과가 36이 되면 √36은 -6이 아니라 6입니다. 이때 단순히 마지막 답 -6만 지적하면 다음 문제에서 같은 판단을 반복할 수 있으므로, 답이 틀어지기 전의 첫 선택을 확인했습니다.

식보다 먼저 확인해야 할 것

학생의 풀이를 다시 살펴보니, 이전 예제에서 a가 양수였을 때 사용한 “√(a²)=a”라는 문장을 조건 없이 기억하고 있었습니다. 즉, a가 음수일 때도 같은 식을 그대로 적용한 것이 최초의 어긋난 판단이었습니다. 그 뒤에 36을 계산하거나 √36을 읽는 과정은 오히려 바르게 할 수 있었기 때문에, 계산 전체를 다시 고치지 않고 이 한 지점만 바로잡았습니다.

√(a²)의 값은 a의 부호에 따라 달라지는 것이 아니라 항상 음이 아닌 값으로 정리됩니다. 그래서 부호를 포함한 a 자체가 아니라, a의 크기를 나타내는 값으로 판단해야 합니다.

• a가 양수이면 √(a²)=a
• a=0이면 √(a²)=0
• a가 음수이면 √(a²)=-a

이번 문제에서는 a=-6이므로 -a=6입니다. 학생은 이미 계산한 (-6)²=36은 그대로 두고, 마지막 연결만 다음처럼 고쳤습니다.

√(a²)=√((-6)²)=√36=6

이 교정의 기준은 하나입니다. √(a²)를 보았을 때 곧바로 a를 쓰지 않고, 먼저 a의 부호를 확인하는 것입니다. 다른 계산 방법을 추가하거나 풀이 순서를 전부 바꾼 것이 아닙니다.

표현이 달라진 문제에서 기준 적용하기

며칠 뒤에는 식을 바로 계산하는 대신 조건표를 읽는 문제가 제시되었습니다.

a의 조건	주어진 식	구할 값
a>0	√(a²)	a로 나타내기
a=0	√(a²)	값 구하기
a<0	√(a²)	a로 나타내기

학생은 수를 대입하지 않고 조건만 보고 각 칸을 채웠습니다. 첫째 줄은 a, 둘째 줄은 0, 셋째 줄은 -a라고 적었습니다. 특히 셋째 줄에서 √(a²)=-a라고 쓴 이유를 “a가 음수이므로 -a는 양수이고, 제곱근의 값도 음이 아닌 값이어야 하기 때문”이라고 설명했습니다.

이번 문제는 단순히 숫자만 바꾼 연습이 아니었습니다. 앞에서는 음수 하나를 직접 계산했지만, 이번에는 부호 조건이 표의 위치로 제시되었습니다. 그래도 학생은 문제의 모양에 따라 새로운 공식을 외우지 않고, √(a²)를 본 뒤 a의 부호를 확인하는 같은 기준을 사용했습니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이 기록

마지막에는 도움말 없이 다음 문제를 풀었습니다.

실수 x에 대하여 x<0이고 √(x²)=7일 때, x의 값을 구하여라.

학생은 먼저 “x<0이므로 √(x²)=-x”라고 적었습니다. 이어서 -x=7에서 x=-7을 얻었습니다. 그리고 답을 바로 제출하지 않고 x=-7을 원래 식에 대입했습니다.

√(x²)=√((-7)²)=√49=7

검산 결과 주어진 식과 일치했고, x<0이라는 조건도 x=-7에서 만족했습니다. 학생은 마지막으로 “음수인 x를 그대로 쓰면 -7이지만, √(x²)의 값은 7이므로 √(x²)=|x|처럼 음이 아닌 값으로 확인해야 한다”고 설명했습니다. 힌트 없이도 부호를 먼저 선택하고, 원래 식에 대입해 결과를 확인한 장면이었습니다.

칠성동중3수학과외에서는 이처럼 √(a²)의 한 표현만 다루더라도 숫자 계산보다 부호 판단이 먼저 이루어졌는지 살펴봅니다. 대구역 서희스타힐스 작은도서관 인근 생활권에서 문제를 접하더라도, 식의 모양이나 조건의 위치가 달라졌을 때 같은 기준을 스스로 재현하는 것이 이 개념의 핵심입니다.