칠성동 고1수학과외







칠성동 고1수학과외, 근과 계수 관계에서 경계값을 놓치지 않은 사례
이차방정식의 두 근을 직접 구하지 않고도 조건을 판단하는 문제에서, 학생은 판별식만 확인한 뒤 해의 범위를 넓게 잡았다. 특히 경계에 놓인 근이 허용되는지와 정의역 조건이 함께 적용되는지를 따로 살피지 않은 것이 핵심 오류였다.
두 근의 합과 곱을 하나의 범위로 연결하기
학생은 두 근을 α, β라 하고 α+β=6, αβ=t라는 관계를 적었다. 그러나 판별식이 0 이상이라는 조건만으로 t≤9라고 결론 내리면서 t=4도 가능하다고 판단했다.
교정할 때는 근의 순서를 α≤β로 정한 뒤, 두 근이 [1, 5] 안에 있다는 조건을 α의 범위로 바꾸게 했다. α+β=6이므로 β=6-α이고, α≤β에 따라 1≤α≤3이다. 따라서
t=αβ=α(6-α), 1≤α≤3
이 식의 값은 α=1일 때 5, α=3일 때 9가 되므로 5≤t≤9이다. 단순히 판별식만 보는 것이 아니라 두 근의 위치 조건까지 근과 계수 관계에 반영해야 한다는 점을 확인했다.
조건의 표현을 바꾼 적용
다음에는 두 근이 [1, 5]가 아니라 (1, 5]에 속하고 합이 여전히 6인 경우를 제시했다. 학생은 같은 방식으로 α의 범위를 다시 정해 1<α≤3으로 바꾸었다. 이에 따라 곱의 범위는 5<t≤9가 되었고, t=5는 제외되지만 t=9는 포함된다는 사실을 구분했다.
칠성동의 대구역 서희스타힐스 작은도서관에서 작성한 풀이 메모에는 “끝점의 괄호가 곱의 범위에 그대로 반영되는가”라는 문장이 남았다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 근의 조건을 구간 표현으로 전환한 적용이었다.
값을 거꾸로 넣어 최종 확인하기
- t=5이면 x²-6x+5=0이므로 두 근은 1, 5이다.
- t=9이면 x²-6x+9=0이므로 두 근은 3, 3이다.
- t=4이면 x²-6x+4=0의 근은 1±√5로, 한 근이 1보다 작다.
학생은 t=4를 판별식만으로 허용했던 판단이 근의 범위 조건과 맞지 않음을 역대입으로 확인했다. 이후에는 근과 계수 관계를 계산 도구로만 사용하지 않고, 마지막 해의 경계가 실제 근의 위치 조건을 만족하는지까지 점검할 수 있게 되었다.