사인·코사인의 주기는 왜 2π일까?
“π만큼 이동하면 같은 값이 되니까 주기도 π이다”라는 풀이가 자주 나온다. 하지만 π만큼 옮긴 그래프는 원래 그래프와 부호가 바뀐다.
한 식에서 시작하는 주기 확인
사인 함수에 π를 더해 보자.
sin(x + π) = −sin x
예를 들어 sin 0 = 0이지만, sin(0 + π) = 0이다. 이 한 점만 보면 같은 값처럼 보인다. 그러나 x = π/6에서는
sin(π/6) = 1/2, sin(7π/6) = −1/2
이므로 모든 x에서 함수값이 같지는 않다. 코사인도 마찬가지로 cos(x + π) = −cos x이다.
같은 값과 같은 그래프 상태
함수의 주기 T는 모든 x에 대해 f(x + T) = f(x)를 만족해야 한다. 사인과 코사인은 다음 관계를 만족한다.
sin(x + 2π) = sin x
cos(x + 2π) = cos x
또한 2π만큼 이동하면 함수값뿐 아니라 증가·감소 방향과 그래프의 위치도 그대로 반복된다. 따라서 기본 주기는 2π이다.
구간에서 주기 수 세기
문제: y = sin x의 그래프에서 x가 0부터 6π까지 변할 때 기본 주기는 몇 번 나타나는가?
전체 구간의 길이는 6π이고 기본 주기는 2π이므로
6π ÷ 2π = 3
따라서 세 주기가 포함된다.
보기 판단
- ① 기본 주기는 π이다.
- ② sin(x + π) = sin x이다.
- ③ sin(x + 2π) = sin x이다.
- ④ 0부터 6π까지 세 주기가 포함된다.
옳은 보기는 ③, ④이다. ①과 ②는 π만큼 이동했을 때 부호가 바뀐다는 사실을 놓친 판단이다.
최종 검증
대구역 서희스타힐스 주변에서 그래프의 한 점을 출발점으로 삼는다고 생각해도, 한 바퀴 뒤 같은 상태로 돌아오는 간격은 π가 아니라 2π이다. π에서는 값이 반대가 될 수 있고, 2π에서 함수값과 변화 방향이 모두 처음과 일치한다.