칠성동 중1수학과외

칠성동 중1수학과외에서 다룬 약수 개수 판단

칠성동과외 수업에서 학생과 함께 약수의 개수를 구하는 문제를 살펴봤다. 경명여자중학교가 포함된 생활권에는 대구역 서희스타힐스와 모퉁이작은도서관 인근처럼 다양한 생활 공간이 있지만, 이날의 핵심은 생활 속 수가 아니라 주어진 수를 소인수의 곱으로 나타내고 약수의 개수를 판단하는 과정이었다.

문제는 다음과 같았다.

360의 약수의 개수를 구하고, 360을 다른 곱셈 형태로 나타냈을 때에도 같은 판단이 가능한지 설명하시오.

학생은 360을 보자마자 교과서 예제에서 외운 순서대로 숫자를 나누기 시작했다. 공책에는 360=2×180=2×2×90=2×2×2×45라고 적혔고, 곧바로 “2가 세 번, 3이 한 번, 5가 한 번이므로 약수는 3×1×1=3개”라고 썼다. 계산을 빨리 끝내려는 과정에서 각 소인수가 몇 번씩 곱해졌는지 세는 일과 약수 개수 공식에 넣는 일을 섞어 버린 것이다.

틀어진 지점부터 다시 확인하기

풀이 전체가 잘못된 것이 아니라, 약수의 개수를 정하는 최초의 판단이 어긋났다. 학생은 소인수의 지수에 1을 더해야 한다는 조건을 확인하지 않은 채 지수끼리 곱했다. 따라서 이미 적은 나눗셈 과정은 유지하고, 마지막 판단만 바로잡았다.

공책의 식을 정리하면 360=2³×3²×5이다. 약수 하나를 만들 때 2는 0번부터 3번까지 네 가지 선택이 가능하고, 3은 0번부터 2번까지 세 가지, 5는 0번 또는 1번으로 두 가지 선택이 가능하다. 그러므로 약수의 개수는 4×3×2=24개이다.

• 2의 지수: 0, 1, 2, 3 → 4가지
• 3의 지수: 0, 1, 2 → 3가지
• 5의 지수: 0, 1 → 2가지

학생은 24라는 답만 옮기지 않고, 실제 약수 하나를 만들어 확인했다. 2를 두 번, 3을 한 번, 5를 쓰면 2²×3×5=60이 된다. 각 지수의 선택이 약수를 만드는 방식과 연결된다는 점을 식으로 확인한 것이다.

표현을 바꾼 문제에 적용하기

다음에는 숫자를 단순히 바꾸지 않고 문제의 모습을 바꾸었다. 2⁴×3×7을 먼저 제시한 뒤 “이 수의 약수 중 3의 배수는 몇 개인가?”라고 물었다. 학생은 전체 약수 개수를 바로 구하려 하지 않고, 3의 배수라는 조건부터 표시했다.

3의 배수가 되려면 3의 지수는 반드시 1이어야 한다. 2의 지수는 0부터 4까지 다섯 가지, 7의 지수는 0 또는 1로 두 가지이므로 조건에 맞는 약수는 5×1×2=10개라고 설명했다. 같은 인수와 지수의 선택을 사용하지만, 질문이 전체 약수에서 특정 조건을 만족하는 약수로 바뀌자 필요한 지수만 먼저 고른 것이다.

이어서 360을 12×30으로 제시했다. 학생은 이 곱셈 형태만 보고 12의 약수 개수와 30의 약수 개수를 곱하지 않았다. 두 수를 다시 소인수로 분해하여 12=2²×3, 30=2×3×5로 확인한 뒤, 곱하면 2³×3²×5=360이 된다고 적었다. 표현이 달라져도 원래 수와 같은 인수 구성을 가져야 한다는 점을 스스로 대조했다.

힌트 없이 재현한 마지막 풀이

수업 후반에는 도움 없이 540의 약수 개수를 구하게 했다. 학생은 먼저 540을 나누어 540=2²×3³×5로 정리했다. 이어 “2의 지수는 0, 1, 2라서 3가지, 3의 지수는 0부터 3까지라서 4가지, 5는 0과 1이라서 2가지”라고 말하며 3×4×2=24를 계산했다.

마지막으로 선택한 지수 중 하나를 실제 곱으로 되돌렸다. 2를 한 번, 3을 두 번, 5를 쓰면 2×3²×5=90이므로 540의 약수이고, 각 인수의 지수 범위도 원래 분해와 맞는다고 설명했다. 첫 문제에서 생략했던 조건 확인과 원래 수 대조를 이번에는 스스로 세운 것이다. 칠성동중1수학과외 수업에서는 이처럼 약수 개수 공식을 외우는 데서 멈추지 않고, 인수와 지수의 선택이 실제 약수로 이어지는지 끝까지 검증했다.