대현동 중2수학과외

대현동 중2수학과외에서 확인한 순환마디의 시작 위치

대현동과 동부3단지아파트가 있는 생활권에서 진행한 중2 수업에서 학생은 유리수를 소수로 나타내는 문제를 풀다가 순환마디의 위치를 한 자리 잘못 표시했다. 문제는 0.12̅3처럼 소수점 뒤에 반복되지 않는 숫자가 먼저 나오고, 그다음 숫자부터 반복되는 형태를 정확히 읽는 것이었다.

학생의 첫 풀이에서 보인 표시

학생은 0.123123123…을 보고 소수점 바로 뒤의 숫자부터 반복된다고 판단했다. 풀이 노트에는 다음처럼 적혀 있었다.

0.1̅23 = 0.123123…

그 뒤 0.123을 한 덩어리로 보고, 반복되는 숫자가 1, 2, 3이라고 계산했다. 계산 중간에는 0.12까지는 반복되지 않는다는 사실을 읽었지만, 순환마디 표시를 먼저 해 둔 뒤 그 표시와 실제 전개를 비교하지 않았다. 식을 분수로 바꾸는 과정에서도 반복되지 않는 부분의 자릿수를 따로 세지 않고, 전체 세 자리 숫자에 같은 규칙을 적용하려 했다.

오류가 결과에 나타난 순간보다 먼저 잘못된 선택은 순환마디가 소수점 바로 뒤에서 시작한다고 정한 것이었다. 0.123123…에서는 123이 반복되지만, 0.12̅3처럼 표기된 문제라면 반복되는 부분은 3 하나이고 1과 2는 반복마디에 포함되지 않는다. 학생은 숫자의 나열을 보고 비슷한 모양을 고른 뒤, 순환 표시가 가리키는 시작 위치를 확인하지 않았다.

경계 하나를 먼저 고친 수업 장면

교사는 계산식을 다시 만들기 전에 학생에게 소수 전개를 직접 끊어 읽게 했다. 학생은 0.12̅3을 다음처럼 적었다.

0.1233333… = 0.12 + 0.0033333…

그리고 소수점 뒤 숫자에 번호를 붙여 1, 2는 반복 전 부분, 3부터는 반복 부분이라고 표시했다. 이때 순환마디 위의 표시가 숫자 3에만 있다는 점을 확인했다. 교사는 이미 맞게 읽은 소수 전개는 그대로 두고, 반복 시작 위치와 반복 전 자릿수를 분리해 표시하는 것만 바로잡았다.

학생은 다시 0.1̅23과 0.12̅3을 나란히 적었다.

• 0.1̅23은 0.1232323…처럼 1 다음의 23이 반복되는 표기인지 확인해야 한다.
• 0.12̅3은 0.123333…이므로 반복마디는 3이다.
• 순환마디의 시작은 숫자의 모양이 아니라 위에 표시된 위치로 정한다.

이후 학생은 간단한 값으로 원래 표기와 자신이 만든 전개를 비교했다. 0.12̅3에 대해 0.123333…을 써 보고, 잘못 읽은 0.123123…과 세 번째 자리부터 달라진다는 것을 표시했다. 경계에서 달라진 부분만 수정하자, 반복 전 부분과 순환마디를 섞지 않고 식을 세울 수 있었다.

표현을 바꾼 독립 적용

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표 형태로 제시했다. 다음은 어떤 소수의 자릿수를 순서대로 적은 표였다.

자리	1	2	3	4	5	6	7
숫자	4	7	2	5	5	5	5

문제는 “세 번째 자리까지는 반복되지 않고 네 번째 자리부터 같은 숫자가 이어질 때 순환마디의 시작 위치를 표시하라”는 질문이었다. 학생은 이번에는 숫자를 보자마자 마디를 정하지 않고, 먼저 “반복 전: 4, 7, 2 / 반복 시작: 5”라고 적었다. 이어 0.472̅5로 표시하고, 소수 전개를 0.4725555…라고 읽었다. 질문의 방향이 ‘순환마디를 찾기’에서 ‘주어진 반복 조건을 표기로 바꾸기’로 달라졌지만, 경계부터 확인하는 판단은 유지했다.

부호처럼 보이는 순환 표시가 숫자 두 개 위에 걸쳐 있는 경우도 제시했다. 학생은 표시가 25 전체를 가리키면 0.47̅25가 0.47252525…인지, 0.472̅5가 0.472555…인지 전개해 서로 다름을 확인했다. 단순히 표시의 길이를 세지 않고 실제로 한 주기가 반복되는지 검산한 점이 중요했다.

힌트 없이 다시 세운 판단

마지막 확인 문제에서 학생은 “0.30606060…”을 순환소수 표기로 바꾸라는 문제를 받았다. 도움 없이 소수점 뒤 첫 숫자 3은 한 번만 나오고, 06이 반복된다고 설명했다.

0.30606060…에서 반복 전 부분은 3, 순환마디는 06이므로 0.3̅06이 아니라 0.3̅06처럼 06 전체의 시작과 끝을 표시해야 한다.

학생은 표기를 적은 뒤 직접 전개하여 0.306060…이 되는지 대조했다. 이어 “0부터 반복되는 것이 아니라 3 다음의 0에서 반복이 시작되므로 소수점 뒤 첫 경계를 먼저 정했다”고 풀이 이유를 말했다. 숫자를 계산하기 전에 반복되지 않는 부분과 순환마디의 시작 위치를 스스로 나누고, 완성한 표기를 다시 소수 전개와 대조했기 때문이다.