대현동 고2수학과외







같은 동경을 찾는 핵심은 각의 크기가 아니라 끝나는 방향이다
일반각 문제에서는 각의 크기가 달라도 동경이 같은지 확인해야 한다. 기준각에 한 바퀴의 정수배를 더하거나 빼면 같은 동경을 얻는다.
보기에서 같은 동경끼리 묶기
| 각 | 기준 범위로 바꾼 값 | 동경 |
|---|---|---|
| −120° | 240° | 제3사분면 |
| 600° | 240° | 제3사분면 |
| 60° | 60° | 제1사분면 |
| −300° | 60° | 제1사분면 |
따라서 −120°와 600°가 한 쌍이고, 60°와 −300°가 한 쌍이다. 각의 절댓값이 비슷한지를 보는 것이 아니라 360°를 더하거나 빼서 같은 위치에 도달하는지를 확인해야 한다.
학생 풀이에서 생긴 오류
어떤 학생은 −120°를 120°로 바꾸고, 600°를 60°로 줄였다. 이 과정은 음수의 부호를 없애거나 360°를 임의로 한 번만 빼는 것이므로 올바르지 않다.
−120°에 360°를 더하면 240°이고, 600°에서 360°를 빼면 240°이다. 두 각은 같은 동경을 갖지만 120°와 60°는 서로 다른 방향이다.
일반각으로 정리하기
기준각이 θ일 때 같은 동경을 갖는 모든 각은
θ + 360°n (n은 정수)
로 나타낸다. 라디안으로 표현하면 한 바퀴가 2π이므로
θ + 2πn (n은 정수)
이다.
예를 들어 240°와 같은 동경을 갖는 각은 240°+360°n이다. −120°도 n=−1을 대입하면 240°−360°=−120°이므로 이 형태에 포함된다.
표현을 바꾼 재풀이
다음 보기에서 서로 같은 동경을 갖는 각쌍을 고르자.
① 135°, −225° ② 210°, −150° ③ 30°, 390° ④ 75°, 435°
각쌍을 직접 비교하면 ①은 −225°+360°=135°, ②는 −150°+360°=210°, ③은 390°−360°=30°, ④는 435°−360°=75°이다. 따라서 네 쌍 모두 같은 동경을 갖는다.
최종 확인
일반각 문제를 풀 때는 다음 순서로 검토한다.
- 각을 0° 이상 360° 미만 또는 0 이상 2π 미만으로 줄인다.
- 음의 각은 360° 또는 2π를 더해 방향을 확인한다.
- 같은 기준각이 나왔는지 비교한다.
- 답을 θ+360°n 또는 θ+2πn 꼴로 적을 때 n이 정수인지 확인한다.
따라서 크기만 줄이는 것보다 실제로 같은 동경에 도착했는지를 확인하는 것이 중요하다.