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대현동 고2수학과외

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같은 동경을 찾는 핵심은 각의 크기가 아니라 끝나는 방향이다

일반각 문제에서는 각의 크기가 달라도 동경이 같은지 확인해야 한다. 기준각에 한 바퀴의 정수배를 더하거나 빼면 같은 동경을 얻는다.

보기에서 같은 동경끼리 묶기

기준 범위로 바꾼 값 동경
−120° 240° 제3사분면
600° 240° 제3사분면
60° 60° 제1사분면
−300° 60° 제1사분면

따라서 −120°와 600°가 한 쌍이고, 60°와 −300°가 한 쌍이다. 각의 절댓값이 비슷한지를 보는 것이 아니라 360°를 더하거나 빼서 같은 위치에 도달하는지를 확인해야 한다.

학생 풀이에서 생긴 오류

어떤 학생은 −120°를 120°로 바꾸고, 600°를 60°로 줄였다. 이 과정은 음수의 부호를 없애거나 360°를 임의로 한 번만 빼는 것이므로 올바르지 않다.

−120°에 360°를 더하면 240°이고, 600°에서 360°를 빼면 240°이다. 두 각은 같은 동경을 갖지만 120°와 60°는 서로 다른 방향이다.

일반각으로 정리하기

기준각이 θ일 때 같은 동경을 갖는 모든 각은

θ + 360°n  (n은 정수)

로 나타낸다. 라디안으로 표현하면 한 바퀴가 2π이므로

θ + 2πn  (n은 정수)

이다.

예를 들어 240°와 같은 동경을 갖는 각은 240°+360°n이다. −120°도 n=−1을 대입하면 240°−360°=−120°이므로 이 형태에 포함된다.

표현을 바꾼 재풀이

다음 보기에서 서로 같은 동경을 갖는 각쌍을 고르자.

① 135°, −225°  ② 210°, −150°  ③ 30°, 390°  ④ 75°, 435°

각쌍을 직접 비교하면 ①은 −225°+360°=135°, ②는 −150°+360°=210°, ③은 390°−360°=30°, ④는 435°−360°=75°이다. 따라서 네 쌍 모두 같은 동경을 갖는다.

최종 확인

일반각 문제를 풀 때는 다음 순서로 검토한다.

  1. 각을 0° 이상 360° 미만 또는 0 이상 2π 미만으로 줄인다.
  2. 음의 각은 360° 또는 2π를 더해 방향을 확인한다.
  3. 같은 기준각이 나왔는지 비교한다.
  4. 답을 θ+360°n 또는 θ+2πn 꼴로 적을 때 n이 정수인지 확인한다.

따라서 크기만 줄이는 것보다 실제로 같은 동경에 도착했는지를 확인하는 것이 중요하다.

대현동 고2수학과외 학부모 후기

시험이 끝난 다음 날 저녁, 아이가 틀린 문제를 유형별로 따로 옮겨 적지 않고 시험지 여백에 짧게 이유를 적고 있더라고요. 왜 틀렸는지만 남겨 두니 나중에 다시 볼 부분이 한눈에 띄었어요. 예예전에는 공부를 마치면 그런 표시 없이 바로 치우는 편이었거든요. 대현동 수학과외 관련해 이야기를 나누던 때에도 이 장면이 꽤 기억에 남았어요. 문제를 새 노트로 옮기는 대신 원래 시험지를 그대로 두고, 틀린 까닭만 곁에 적어 두는 방식이었어요. 수학 수업을 준비하던 다른 날에는 교재를 펼쳐 놓고 있다가 앞서 보던 시험지에도 같은 식으로 짧은 메모를 남겼습니다. 확인할 곳을 표시한 뒤 자료를 정리하는 모습이 전과 달랐어요.

★★★★★학부모 후기

교과서를 다시 펼쳐 보던 날, 아이가 계산하다가 자꾸 헷갈리는 부분을 짧은 문장으로 적어 두었어요. 예전에는 왜 틀렸는지 살펴보기보다 답을 맞혔는지만 기억하려는 편이었는데, 이번에는 같은 실수가 보이자 그냥 넘기지 않고 책 한쪽에 따로 남겨 두더라고요. 필요한 내용만 적고 곧바로 공부를 마쳤습니다. 대현동 수학과외 관련해 준비물을 챙기다가 새로 만든 풀이 노트를 보게 됐어요. 문제집 맨 뒤에도 비슷한 메모가 하나 있었습니다. 자주 틀리는 계산 습관을 길게 설명한 건 아니고, 본인이 다시 확인할 수 있을 만큼 짧게 정리해 둔 흔적이었어요. 정답만 외우던 아이가 틀린 이유를 자기 말로 남긴 장면이라 그 부분이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험을 치른 다음 날 아이가 대현동 수학 과외에서 배운 대로 틀린 문제부터 다시 살펴보는 모습이 기억에 남았습니다. 예전에는 저녁이면 조급하게 책상부터 앉았는데, 선생님이 이해한 만큼 진도를 조절하고 복습할 부분을 함께 정해 주셔서인지 공부를 시작하는 마음이 한결 편안해졌습니다. 시험기간에도 무리하게 몰아붙이지 않아 꾸준히 이어가는 점이 특히 좋았습니다.

★★★★☆학부모 후기

대현동에서 돌아온 뒤 평소보다 늦은 저녁이었는데, 아이가 먼저 책상에 앉아 수업에서 배운 내용을 다시 살펴보는 모습이 기억에 남았습니다. 문제 수가 많으면 시작부터 부담스러워하던 아이에게 선생님은 시험 기간 할 일을 짧게 나누어 주고, 일정이 바뀌어도 무리 없이 다시 계획을 맞춰 주셨습니다. 숙제가 밀린 날에도 포기하지 않고 다음 순서를 정해 이어가는 모습에서 편안한 수업 분위기와 세심한 관리가 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

새 학기를 앞두고 숙제를 하던 중, 틀린 문제를 표시만 해두고 다시 보지 않는 습관을 선생님께 솔직히 이야기했습니다. 대현동에서 수업을 받으며 선생님은 숙제량을 무리하지 않게 조절하고, 모르는 부분을 편하게 말할 수 있도록 대화를 이끌어 주셨습니다. 요즘은 틀린 문제를 한 번 더 풀어보는 일이 자연스러워졌고, 수학을 대하는 부담도 조금 줄었습니다.

★★★★★학부모 후기