국우동 중3수학과외
국우동 중3수학과외에서 확인한 √a와 ‘a의 제곱근’의 차이
국우동과외 수업에서 서술형 답안을 살펴보던 중, 학생이 계산은 빠르게 했지만 기호와 문장의 뜻을 한순간에 겹쳐 본 장면이 있었습니다. 학남중학교가 포함된 생활권에서 중3수학을 공부할 때 자주 만나는 표현이지만, 대구칠곡1차부영과 칠곡그린빌1단지 주변 생활권의 학습 자료에서도 같은 혼동이 나타날 수 있습니다. 이번에는 다른 단원으로 넓히지 않고 √a와 a의 제곱근 표현을 구별하는 것만 확인했습니다.
답안에 남은 한 줄에서 시작된 점검
문제는 다음과 같았습니다.
49의 양의 제곱근을 √a의 꼴로 나타내고, 49의 제곱근을 모두 쓰시오.
학생은 먼저 49의 양의 제곱근을 구하는 과정에서 다음처럼 적었습니다.
√49 = ±7
이어 “49의 제곱근은 ±7이므로 √49도 ±7이다”라고 서술했습니다. 이후 49의 제곱근을 모두 쓰는 부분에는 7과 -7을 적었으므로 마지막 숫자 자체는 맞았습니다. 하지만 첫 줄의 판단이 이미 표현의 뜻을 바꾸고 있었습니다.
학생은 기호 앞에 ±가 없으면 답이 하나이고, 제곱근을 묻는 문장에는 ±가 붙는다는 기준을 세우지 못했습니다. √49와 ‘49의 제곱근’을 서로 다른 표현으로 읽지 않고, 둘 다 49와 관련된 답이라고만 처리한 것이 최초의 어긋남이었습니다.
기호와 문장을 나란히 분리해 읽기
교정에서는 계산을 다시 길게 시키지 않았습니다. 학생이 이미 알고 있던 7을 그대로 두고, 두 표현을 표처럼 나누어 적게 했습니다.
- √49 : 49의 양의 제곱근을 나타내는 하나의 값 → 7
- 49의 제곱근 : 제곱해서 49가 되는 두 값 → 7, -7
핵심은 √49에 임의로 ±를 붙이지 않는 것이었습니다. √49는 두 값 중 하나를 묶어 쓰는 기호가 아니라, 양의 제곱근을 가리키는 하나의 표현입니다. 반면 “49의 제곱근”이라는 문장은 제곱 결과가 49가 되는 값을 모두 묻습니다.
학생은 기존 답안의 두 번째 줄은 유지하고 첫 줄만 다음처럼 고쳤습니다.
√49 = 7
49의 제곱근은 7, -7이다.
이렇게 쓰자 같은 숫자 7이 등장해도 기호가 가리키는 값의 개수와 문장이 요구하는 답의 개수가 다르다는 점이 드러났습니다. 국우동중3수학과외에서 이 부분을 다룰 때도 계산법을 추가하기보다, 먼저 표현을 읽고 하나인지 둘인지 구분하는 데 초점을 둡니다.
표현을 바꿔도 같은 기준을 적용하기
다음 문제는 앞의 숫자와 배열을 바꾸는 대신, 질문의 방향과 표현을 바꾸었습니다.
어떤 양수 b에 대하여 √b = 6이다. 다음 중 옳은 설명을 고르고, 이유를 쓰시오.
① b의 제곱근은 6 하나이다.
② b의 제곱근은 6과 -6이다.
③ √b는 6과 -6을 모두 뜻한다.
학생은 먼저 √b = 6이라는 기호형 정보를 읽고, 그 문장을 “b의 제곱근이 6이다”로 바꾸어 적었습니다. 이어 b의 제곱근은 6과 -6이라고 설명하며 ②를 골랐습니다. 앞의 문제처럼 특정 수의 값을 구하는 방식이 아니라, √b라는 기호와 “b의 제곱근”이라는 문장을 서로 바꾸어 해석한 점이 달라졌습니다.
학생의 이유는 다음과 같았습니다.
√b는 양의 제곱근 하나를 나타내므로 6이다. ‘b의 제곱근’은 제곱해서 b가 되는 값을 모두 묻는 말이므로 6과 -6이다. 따라서 ②가 맞고, √b를 6과 -6이라고 쓰면 기호의 뜻을 넓혀 버린다.
힌트 없이 확인한 마지막 기록
마지막에는 도움 없이 다음 문항을 제시했습니다.
√81과 ‘81의 제곱근’을 각각 말하고, 두 답이 왜 다르게 보이는지 설명하시오.
학생은 바로 다음과 같이 작성했습니다.
√81 = 9
81의 제곱근은 9와 -9이다.
그리고 “√81은 하나의 값을 나타내는 기호이고, ‘81의 제곱근’은 해당되는 값을 모두 말하라는 표현이므로 두 개이다. 따라서 √81을 ±9로 쓰지 않는다”라고 덧붙였습니다.
새 숫자와 새 문장에서도 학생 스스로 기호와 서술을 분리하고, 각 표현이 하나의 값인지 두 값인지 설명했습니다. 이번 확인에서 중요한 것은 답만 맞힌 결과가 아니라, √a에는 ±를 붙이지 않고 ‘a의 제곱근’에는 두 값을 검토한다는 기준을 독립적으로 선택한 것이었습니다.