국우동 중1수학과외

곱셈식의 모양이 달라져도 소인수분해를 확인하는 과정

국우동과외 수업에서 학생은 학남중학교가 포함된 생활권의 중1 수학 숙제로 360을 소인수분해하는 문제를 풀고 있었다. 대구칠곡1차부영과 칠곡그린빌1단지가 있는 생활권에서 자주 접할 수 있는 생활 수치처럼 보였지만, 이번 풀이의 핵심은 계산 속도가 아니라 결과를 다시 곱해 원래 수와 맞는지 확인하는 일이었다.

한 줄의 계산에서 드러난 첫 판단

학생은 공책에 다음과 같이 적었다.

360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 3 = 30, 30 ÷ 3 = 10, 10 ÷ 5 = 2

여기까지는 나눈 수를 차례로 기록했지만, 마지막 2를 소인수로 적지 않고 앞에서 나온 수들을 그대로 이어 붙여 360 = 2×2×3×3×5라고 썼다. 이 식 자체는 맞았으나, 이어지는 문제에서 이를 지수로 나타내라는 요구를 보고 학생은 앞의 두 2와 뒤의 두 3을 구분하지 않은 채 2²×3×5라고 적었다. 결과가 틀어진 최초의 판단은 계산을 잘못한 순간이 아니라, 반복되는 인수의 개수를 끝까지 세지 않고 식의 모양만 빠르게 바꾼 순간이었다.

교사는 이미 맞게 구한 나눗셈 과정은 그대로 두고, 소인수 목록에 표시를 더하게 했다. 학생은 종이에 나온 인수에 같은 수끼리 밑줄을 그었다.

• 2, 2에는 한 줄을 그어 2가 두 번임을 표시
• 3, 3에는 다른 줄을 그어 3이 두 번임을 표시
• 5에는 표시하지 않고 한 번만 나온 인수로 남김

그 뒤 학생은 360 = 2×2×3×3×5 = 2²×3²×5라고 다시 썼다. 여기서 지수는 새로운 수를 붙이는 기호가 아니라, 같은 소인수가 몇 번 곱해졌는지를 나타낸다는 점을 식 옆에 직접 적었다. 이전 계산을 버리지 않고, 반복된 인수의 횟수만 정확히 세어 표현을 고친 것이다.

식을 문장과 표로 바꾸어 다시 판단하기

다음 활동에서는 숫자 360을 바로 제시하지 않고 “2가 두 번, 3이 두 번, 5가 한 번 곱해진 수”라는 문장으로 제시했다. 학생은 문장을 읽고 먼저 2×2×3×3×5를 만들었다. 그 후 같은 인수를 묶어 2²×3²×5로 바꾸었다.

이번에는 표의 형태도 사용했다.

• 소인수 2 | 나온 횟수 2
• 소인수 3 | 나온 횟수 2
• 소인수 5 | 나온 횟수 1

표를 지수 표현으로 옮긴 뒤, 단순히 지수를 읽는 데서 멈추지 않고 다시 곱셈식으로 되돌렸다. 2²×3²×5 = 4×9×5 = 180이라고 계산한 순간 값이 360이 되지 않자 학생은 중간 기록을 다시 살폈다. 표의 2의 횟수는 두 번이었지만, 원래 나눗셈 과정에서는 2가 세 번 나왔다. 360을 2로 나누면 180, 다시 90, 다시 45이므로 소인수 목록은 2, 2, 2, 3, 3, 5였다.

학생은 표를 2는 3번, 3은 2번, 5는 1번으로 수정하고, 360 = 2³×3²×5를 얻었다. 곱셈식으로 되돌리면 8×9×5 = 360이므로 원래 수와 일치한다는 근거도 한 줄로 적었다.

힌트 없이 바뀐 조건에 적용한 검증

국우동중1수학과외의 독립 문제에서는 “어떤 수가 2³×3×7로 표현되어 있다. 이를 소인수가 반복된 곱셈식으로 나타내고 원래 값도 구하여라”라는 형태를 제시했다. 학생은 도움 없이 지수를 먼저 읽지 않고, 2³을 2×2×2로 풀어 썼다.

2³×3×7 = 2×2×2×3×7 = 8×3×7 = 168

이어서 “168을 소인수분해한 결과가 맞는지 확인하라”는 질문에는 168을 2로 나누어 84, 다시 42, 다시 21로 만든 뒤 3과 7로 나누었다. 따라서 168 = 2×2×2×3×7 = 2³×3×7이라고 설명했다. 지수 표현을 보고 원래 곱셈식으로 되돌린 뒤, 그 곱이 실제 수와 같은지 확인하고, 다시 나눗셈 과정으로도 대조한 것이다.

마지막 검증에서 학생은 “소인수분해 결과는 소수들의 곱이어야 하며, 같은 소수가 반복되면 그 횟수를 지수로 나타낸다. 내가 얻은 식을 다시 곱했을 때 처음 수가 나오므로 표현과 값이 모두 맞다”고 스스로 설명했다. 모양이 나눗셈식, 문장, 표, 지수식으로 바뀌어도 인수의 종류와 반복 횟수를 확인하고 원래 수로 되돌리는 절차를 재현했다.