효목동 중3수학과외

효목동 중3수학과외에서 살펴본 무리수·유리수 표현 바꾸기

효목동과외 수업에서 단원평가를 앞둔 학생의 풀이를 확인했습니다. 태왕메트로시티와 진로이스트타운, 대구지식산업작은도서관이 있는 생활권에서 중3수학을 공부하는 학생들이 자주 만나는 문제는 같은 수를 서로 다른 모양으로 나타냈을 때 유리수와 무리수의 판단이 흔들리는 경우입니다.

나란히 놓인 두 표현에서 시작된 혼동

문제는 다음과 같았습니다.

다음 수를 유리수와 무리수로 분류하시오.

① √49　② √18　③ 0.272727…　④ 1.414213…

학생은 공책에 먼저 숫자 옆에 표시했습니다.

• √49 : 근호가 있으므로 무리수
• √18 : 근호가 있으므로 무리수
• 0.272727… : 반복되므로 유리수
• 1.414213… : 반복 표시가 없으므로 무리수

이후 학생은 ①과 ②를 비교하며 “둘 다 √가 앞에 있으니 같은 종류”라고 적었습니다. 겉모양이 달라진 수를 비교할 때 ‘근호가 있는가’만 먼저 본 것입니다. 그러나 이 판단이 최종 답보다 앞서 생긴 첫 어긋남이었습니다.

근호의 존재가 아니라 값이 어떻게 남는지 확인하기

교정은 한 행동만 바꾸었습니다. 근호를 발견하면 곧바로 분류하지 않고, 먼저 제곱근이 정수나 분수로 정리되는지 계산하도록 했습니다.

①은 √49=7입니다. 7은 정수이므로 유리수입니다. 따라서 근호 기호가 남아 있지 않다는 사실을 확인한 뒤 분류해야 합니다. 반면 ②는 √18=√(9×2)=3√2입니다. √2는 정수나 분수로 나타나지 않으므로 3√2도 무리수입니다.

③은 소수점 아래 숫자 27이 계속 반복됩니다. 반복되는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다. 학생은 분류 이유를 “반복되는 소수 표현”이라고 덧붙였습니다.

④는 1.414213…처럼 이어지는 숫자만 제시되어 있고 일정한 반복 묶음이 보이지 않습니다. 이 수는 √2의 소수 표현으로 볼 수 있으며, √2가 분수로 나타나지 않으므로 무리수입니다. 여기서도 소수 자릿수의 길이만 보고 판단하지 않고, 같은 수를 다른 표현으로 바꾸어 관계를 확인하는 것이 핵심입니다.

√가 보이는지보다, 그 표현을 정리한 뒤 정수나 분수로 남는지를 먼저 확인한다.

표현의 모양을 바꾼 새 분류

같은 기준을 익혔는지 확인하기 위해 앞 문제의 숫자와 배열을 그대로 바꾸지 않고, 분수·근호·소수 표현을 섞은 다른 문제를 제시했습니다.

다음 수를 유리수와 무리수로 나누고, 각 판단의 근거를 한 줄씩 쓰시오.

가. √75/5　나. 0.101001000100001…　다. 3/√9　라. 0.636363…

학생은 이번에는 식의 겉모양에 바로 표시하지 않고 순서대로 정리했습니다.

• 가. √75/5=5√3/5=√3 → 무리수
• 나. 0.101001000100001… → 일정한 반복 묶음이 없으므로 무리수
• 다. 3/√9=3/3=1 → 유리수
• 라. 0.636363… → 63이 반복되므로 유리수

특히 다에서 분모에 근호가 있다는 이유만으로 무리수라고 하지 않고 √9를 먼저 3으로 바꾼 점이 중요했습니다. 가에서도 분자와 분모를 간단히 한 뒤 √3만 남는지 확인했습니다. 같은 ‘근호가 포함된 표현’이라도 정리 결과에 따라 분류가 달라진다는 기준을 적용한 것입니다.

힌트 없이 진행한 마지막 확인

마지막에는 설명이나 표시 없이 다음 문제를 혼자 풀게 했습니다.

다음 중 무리수만 고르고, 나머지가 유리수인 이유를 쓰시오.

① √121/11　② 2.030030003…　③ √48/4　④ 0.875

학생은 먼저 ①=11/11=1, ③=4√3/4=√3으로 정리했습니다. 이어 ④는 끝나는 소수이므로 분수로 바꿀 수 있어 유리수라고 설명했습니다. ②는 03, 003처럼 반복 간격이 일정하지 않아 반복되는 소수로 볼 수 없고, 무리수인 표현이라고 판단했습니다.

마지막으로 학생은 “①은 근호가 있었지만 정수로 정리되어 유리수이고, ③은 정리해도 √3이 남아 무리수다”라고 서로 다른 표현을 다시 비교했습니다. 답만 맞힌 것이 아니라 각 수를 먼저 간단히 만든 뒤, 정수·분수로 남는지 또는 무리수 표현이 남는지를 근거로 검산한 것입니다. 효목동중3수학과외에서도 이처럼 표현의 겉모양보다 정리 후 남는 관계를 확인하는 연습을 중심에 두었습니다.