효목동 중2수학과외

효목동 중2수학과외에서 살펴본 유리수의 소수 표현

효목동과외 수업에서 학생은 유리수를 소수로 바꾸었을 때 왜 어떤 수는 끝나고 어떤 수는 반복되는지 확인하는 문제를 풀었다. 효목동 생활권에는 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관 인근처럼 다양한 학습 환경이 있지만, 이날의 핵심은 계산 속도가 아니라 분수의 분모와 소수 표현 사이의 대응이었다. 강동중학교가 포함된 생활권의 중2 학습에서도 자주 만나는 유형이지만, 학교별 문제를 추측하기보다 한 문제의 풀이 과정을 세밀하게 기록했다.

소수에서 시작한 첫 풀이

문제에는 0.375, 0.454545…, 1.20888…이 함께 제시되어 있었다. 학생은 먼저 소수점을 기준으로 숫자를 읽고, 0.375는 소수 셋째 자리에서 끝나므로 유한소수, 0.454545…는 45가 되풀이되므로 순환소수라고 표시했다. 이어 1.20888…에서는 소수점 뒤에 8이 계속 나온다는 점을 확인했지만, 순환마디를 표시하는 선을 8 하나가 아니라 ‘88’ 전체에 그었다.

그 뒤 각 소수를 분수로 바꾸어 분모를 살피려 했다. 0.375는 375/1000으로 적은 다음 3으로 약분하고, 0.454545…는 45가 반복된다는 사실을 이용해 45/99로 적었다. 계산 중간에는 1.20888…의 반복 부분을 정확히 정하지 못해 그 항목을 보류하고, 앞의 두 항목만 먼저 분류했다. 마지막에 표의 빈칸을 채우려 했지만, 1.20888…의 분수와 분모 판단이 어긋날 가능성이 생겼다.

문제가 틀어지기 시작한 지점은 계산 결과가 아니라, 순환마디를 반복되는 숫자 전체로 확인하지 않고 일부 숫자만 임의로 표시한 순간이었다.

가장 먼저 고친 한 가지

교사는 다른 풀이법을 추가하지 않고, 학생이 표시한 순환마디만 다시 읽게 했다. 1.20888…은 소수점 뒤 숫자를 순서대로 적으면 2, 0, 8, 8, 8…이다. 처음 나타나는 20 뒤에 8이 계속 반복되므로 순환마디는 8 하나이다. 따라서 1.20888…을 1.2088…로 읽고, 반복되는 부분에만 표시해야 한다.

학생은 이 판단을 이용해 식을 세웠다. x=1.20888…이라 두고, 반복되지 않는 소수 둘째 자리까지 없애기 위해 100x=120.8888…로 썼다. 한 자리 반복을 없애려고 1000x=1208.8888…을 만든 뒤 두 식을 빼서 900x=1088을 얻었다. 따라서 x=1088/900=272/225이다. 이 분수의 분모 225는 3²×5²이므로 2와 5 이외의 소인수를 포함한다. 그래서 소수 표현이 끝나지 않고 8이 반복된다는 사실과도 맞았다.

0.375도 375/1000에서 3으로 약분한 뒤 1,000을 8×125로 나누어 분모를 2와 5만으로 만들 수 있음을 확인했다. 0.454545…는 45/99를 5/11로 고쳤다. 분모 11이 남으므로 유한소수가 아니라 순환소수이다. 학생은 이 과정을 통해 기약분수의 분모가 2와 5만으로 이루어지면 유한소수, 그 밖의 소인수가 남으면 순환소수라는 기준을 자신의 계산에 연결했다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 분수를 바로 계산하는 형식이 아니었다. 표에는 다음과 같은 문장이 제시되었다.

• 어떤 수를 기약분수로 나타내면 분모가 40이다.
• 어떤 수를 기약분수로 나타내면 분모가 18이다.
• 어떤 수의 소수 표현은 0.272727…이다.

학생은 첫 문장을 보고 40=2³×5이므로 유한소수라고 적었다. 두 번째는 18=2×3²이므로 순환소수라고 판단했다. 세 번째는 분수로 되돌리는 방향을 택해 0.272727…=27/99=3/11로 정리하고, 분모 11 때문에 순환소수라고 표에 연결했다. 단순히 숫자를 바꾼 문제가 아니라, 분모에서 출발한 경우와 소수 표현에서 출발한 경우를 서로 다른 방향으로 대응시킨 것이다.

힌트 없이 확인한 마지막 장면

수업 끝에는 도움 없이 새로운 수 0.16252525…가 주어졌다. 학생은 곧바로 소수점 뒤에서 16은 반복되지 않고 25가 반복된다고 표시했다. 이어 x=0.16252525…로 두고 100x와 10000x를 비교하여 반복되지 않는 자리와 반복마디의 길이를 구분했다. 계산한 분수를 기약분수로 고친 뒤 분모에 3이 남는지 확인하고, 원래 소수의 25가 계속 반복되는 모습과 맞는지 검산했다.

학생은 마지막에 “반복되는 숫자를 먼저 정확히 정하고, 분수로 바꾼 뒤에는 반드시 기약분수의 분모를 본다. 2와 5만 남으면 유한소수이고 다른 소인수가 있으면 순환소수다”라고 풀이 이유를 스스로 설명했다. 효목동중2수학과외에서 확인한 변화는 정답 하나가 아니라, 처음 보는 표현에서도 같은 판단을 다시 세우고 계산 결과와 원래 소수의 모양까지 대조한 과정에 있었다.