신천동 중3수학과외
신천동 중3수학과외, 근호식의 괄호를 읽는 방법
신천가람타운과 대구지식산업작은도서관이 있는 생활권에서 중3 수학 풀이를 살펴보던 중, 한 학생의 오답노트에서 근호식 계산 오류를 발견했습니다. 청구중학교가 포함된 생활권에서도 자주 만나는 유형이지만, 이번에는 근호를 간단히 만드는 과정이 아니라 괄호 밖의 인수가 괄호 안 모든 항에 연결되는지만 집중했습니다.
답보다 먼저 남아 있던 풀이 흔적
문제는 다음과 같았습니다.
3√2(√8－√2)를 전개하여 계산하시오.
학생은 오답노트에 두 줄을 나란히 적었습니다.
- 원래 식: 3√2(√8－√2)
- 학생의 변형: 3√2√8－√2
이후 첫 항을 계산하여 3√16－√2라고 적고, 최종 답을 12－√2로 정리했습니다. 학생은 괄호 안의 앞 항에는 3√2를 곱했지만, 뒤의 －√2에는 3√2를 연결하지 않았습니다. 표현이 달라지자 괄호 안 한 항만 처리하고 다른 항을 빠뜨린 것입니다.
여기서 중요한 점은 마지막 계산인 3√2×√8을 어떻게 처리했는지가 아니었습니다. 그 계산을 하기 전, 괄호 안에 있는 두 항을 모두 확인하지 않은 것이 최초의 어긋난 판단이었습니다. 괄호 안의 대상은 √8 하나가 아니라 √8과 －√2였기 때문입니다.
빠진 연결 하나만 되살리기
풀이를 전부 다시 쓰게 하지 않고, 빠진 연결만 표시했습니다.
3√2(√8－√2)
= 3√2×√8 － 3√2×√2
이제 학생이 이미 맞게 계산한 첫 항은 그대로 두고, 두 번째 항에만 같은 인수 3√2를 붙였습니다.
3√2×√8 = 3√16 = 12
3√2×√2 = 3√4 = 6
따라서 올바른 결과는 다음과 같습니다.
3√2(√8－√2) = 12－6 = 6
학생의 12－√2라는 답은 계산 마지막에서 갑자기 틀린 것이 아니라, 괄호를 전개하는 첫 줄에서 이미 두 번째 항의 연결이 사라졌기 때문에 나온 결과였습니다. 교정할 행동도 하나였습니다. 괄호 안 항마다 괄호 밖 인수를 빠짐없이 이어 쓰기입니다.
모양을 바꿔도 같은 연결을 찾기
다음 연습에서는 앞 문제의 숫자와 배열을 사용하지 않았습니다. 이번에는 곱셈 인수가 뒤에 있고, 괄호 안 항의 순서도 달랐습니다.
(√5－2√3)×(－2√7)을 전개하시오.
학생은 먼저 괄호 안의 두 항을 세로로 표시했습니다.
- 첫 번째 항: √5
- 두 번째 항: －2√3
그 다음 오른쪽 괄호의 －2√7이 두 항 모두에 연결되어야 한다고 적었습니다.
(√5－2√3)×(－2√7)
= √5×(－2√7) ＋ (－2√3)×(－2√7)
곱셈의 순서를 바꾸어 써도 각 항에 같은 인수가 연결되어 있다는 사실은 변하지 않습니다. 학생은 첫 항을 －2√35로, 둘째 항을 4√21로 계산하여
－2√35＋4√21
을 얻었습니다. 여기서 다른 계산법이나 새로운 성질을 덧붙이지 않고, 두 항 모두에 －2√7이 들어갔는지만 확인했습니다.
힌트 없이 확인한 마지막 기록
며칠 뒤에는 다음 식을 처음 제시했습니다.
－√6(2√3＋√15)를 전개한 결과를 쓰고, 전개 전후가 같은지 설명하시오.
학생은 이번에는 곧바로 괄호 안의 2√3, √15에 각각 －√6을 연결했습니다.
－√6(2√3＋√15)
= －√6×2√3 ＋ －√6×√15
그리고 “괄호 밖 인수는 괄호 안 첫 항에만 붙는 것이 아니라, 더하기 기호 양쪽 항에 모두 붙는다”고 설명했습니다. 전개 전 식의 괄호 안에 임의로 공통 기호를 두어 확인할 때도, 두 항에 같은 인수를 곱한 형태로 다시 묶을 수 있으므로 전개 전후의 관계가 유지된다고 말했습니다.
마지막으로 학생은 숫자를 대신 넣어 확인하지 않고도, 두 항을 모두 연결했는지 자신의 표시로 검산했습니다. 처음 보는 근호식에서도 계산을 서두르기 전에 괄호 안 항의 개수를 세고, 각 항에 동일한 인수가 남아 있는지 확인하는 장면까지 스스로 재현했습니다. 이것이 이번 신천동중3수학과외에서 확인한 근호식 분배법칙 적용의 핵심이었습니다.