신서동 중3수학과외

신서동 중3수학과외에서 확인한 근호식 전개의 한 장면

신서동과외 수업에서 태왕메트로시티가 있는 생활권의 중3 학생이 근호식 계산 문제를 풀었습니다. 강동중학교와 새론중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이라고 단정할 수는 없지만, 이번 문제는 학교와 관계없이 반드시 확인해야 할 한 가지 판단을 선명하게 보여 주었습니다. 신서동중3수학과외에서는 계산 속도보다 괄호 안 항을 빠짐없이 확인하는 과정을 먼저 기록하게 했습니다.

첫 줄에 남은 표시

문제는 다음과 같았습니다.

3(√5－2√3＋√7)을 전개하여라.

학생은 먼저 식에서 괄호 부분을 손가락으로 가리고, 괄호 앞의 수 3에 동그라미를 쳤습니다. 그러나 첫 식은 다음처럼 적었습니다.

3(√5－2√3＋√7)=3√5－2√3＋3√7

이후 학생은 3√5와 3√7을 그대로 두고 답을 정리했습니다. 겉으로는 부호도 유지했고 계산도 빠르게 진행했지만, 두 번째 항인 －2√3에는 괄호 밖의 3을 연결하지 않았습니다. 틀린 답을 만든 마지막 계산보다 먼저 살펴볼 지점은 바로 이 첫 전개였습니다.

계산 전에 항을 연결하는 방법

학생에게 다른 풀이를 새로 가르치기보다, 처음 식에서 확인하지 못한 행동 하나만 다시 하게 했습니다. 괄호 안의 항을 세 칸으로 나누어 표시한 뒤, 괄호 밖의 3에서 각 항으로 선을 그었습니다.

• 3 × √5
• 3 × (－2√3)
• 3 × √7

이 표시를 식으로 옮기면 다음과 같습니다.

3(√5－2√3＋√7)=3×√5＋3×(－2√3)＋3×√7

여기서 이미 맞았던 첫째 항과 셋째 항은 그대로 두고, 빠졌던 둘째 항만 바로잡았습니다.

3×(－2√3)=－6√3

따라서 올바른 전개는 다음과 같습니다.

3√5－6√3＋3√7

이번 교정의 핵심은 근호 안을 계산하거나 항을 분류하는 것이 아니었습니다. 괄호 밖의 수가 괄호 안의 모든 항에 각각 곱해졌는지 확인하는 한 가지 행동이었습니다. 특히 가운데 항처럼 앞에 마이너스가 있는 경우에도 3은 －2√3 전체에 곱해져야 하므로, 부호와 계수를 함께 연결해야 합니다.

모양을 바꾼 연습 기록

다음 시간에는 같은 숫자를 반복하지 않고 식의 모양을 바꾸어 적용했습니다.

－2(√6＋√2－3√5)를 전개한 결과를 쓰시오.

이번에는 괄호 앞의 수가 음수이고, 마지막 항에는 근호 앞 계수 3이 있었습니다. 학생은 곧바로 계산하지 않고 먼저 세 항을 표시했습니다.

• －2 × √6
• －2 × √2
• －2 × (－3√5)

그 결과를 한 줄씩 옮겨 적었습니다.

－2(√6＋√2－3√5)
=－2√6－2√2＋6√5

이 문제에서는 괄호 앞 수의 부호가 각 항에 모두 전달되는지 확인하는 것이 중요했습니다. 첫 번째 식처럼 양수 3을 곱하는 상황과 달리, 이번에는 두 번째 항의 부호가 음수가 되고 마지막 항은 음수와 음수가 곱해져 양수가 됩니다. 식의 숫자만 바꾼 것이 아니라 괄호 밖 인수의 위치와 부호, 항의 형태를 바꾸어 같은 전개 기준을 선택하는 연습이었습니다.

힌트가 사라진 뒤의 확인

며칠 뒤에는 표시나 풀이 순서를 미리 알려 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

4(√2－√11＋2√3)의 전개식을 쓰고, 전개 전후에 √2=1, √11=2, √3=3을 대입하여 두 값이 같은지 확인하여라.

학생은 먼저 답을 바로 쓰지 않고 스스로 괄호 안 세 항을 짚었습니다.

4×√2, 4×(－√11), 4×2√3

이어서

4(√2－√11＋2√3)=4√2－4√11＋8√3

라고 전개했습니다. 대입 전 식의 값은

4(1－2＋2×3)=4×5=20

이고, 전개한 식의 값은

4×1－4×2＋8×3=4－8＋24=20

이었습니다. 학생은 “괄호 안 세 항에 4를 모두 연결했기 때문에 전개 전후 값이 같아야 하고, 실제로 둘 다 20이므로 빠뜨린 항이 없다”고 설명했습니다. 도움 없이 항을 먼저 선택하고, 각 항에 같은 인수를 적용한 뒤, 대입으로 전개가 유지되는지 확인한 장면이었습니다.