신서동 중2수학과외

반복되는 숫자보다 먼저 확인한 것

신서동의 태왕메트로시티와 대구지식산업작은도서관 인근 생활권에서 진행한 중2수학과외 수업에서, 학생은 순환소수 문제를 풀고도 계산 결과를 믿지 못했다. 문제는 0.125, 0.3̇, 0.27̇을 분수로 나타내고, 어떤 수가 유한소수인지 순환소수인지 설명하는 내용이었다. 강동중학교와 새론중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이지만, 이 학생에게는 계산 속도보다 시작 기준을 세우는 일이 먼저였다.

정답에서 거꾸로 확인한 첫 선택

학생의 풀이에는 다음과 같은 흔적이 남아 있었다.

“0.125는 숫자가 끝나니까 유한소수, 0.3̇과 0.27̇은 반복되니까 순환소수라고 썼어요. 그런데 분수로 바꾸는 과정에서는 세 수를 모두 같은 방식으로 계산했어요.”

학생은 0.125의 소수 자릿수를 세고, 0.3̇에는 10을 곱해 빼는 방법을 적용했다. 0.27̇에서는 0.272727…처럼 두 숫자가 반복된다고 표시한 뒤 10을 곱했다. 하지만 반복 단위가 두 자리라는 점을 적어 두고도 한 자리만 밀어 식을 만들었다. 그 결과 10x-x를 계산하면서 반복 부분이 완전히 사라지지 않았다.

오답을 따라가 보니 결과보다 먼저 어긋난 판단은 ‘소수점 아래에서 반복되는 묶음의 길이를 확인하지 않고 곧바로 곱할 수를 정한 것’이었다. 유한소수와 순환소수를 구분한 것 자체는 맞았지만, 순환소수의 반복 주기를 계산식에 반영하지 않은 것이다.

곱하기 전에 반복 주기를 표시하다

교정은 한 가지로 제한했다. 학생이 소수 전개를 몇 자리 더 적어 반복되는 숫자의 묶음을 먼저 확인하도록 했다. 0.27̇을 0.272727…로 쓰고, 27에 밑줄을 그은 뒤 “두 자리 반복”이라고 옆에 기록했다. 따라서 x=0.272727…에 100을 곱해 100x=27.272727…을 만들었다. 이제 두 식을 빼면 반복 부분이 같은 위치에 놓인다.

100x-x=27.272727…-0.272727…이므로 99x=27, x=27/99=3/11이다. 학생은 계산 뒤 3/11을 다시 나누어 0.272727…이 되는지 확인했다. 0.3̇은 반복 묶음이 3 한 자리이므로 10을 곱하고, 0.125는 반복 묶음이 없으므로 억지로 순환소수 식을 만들지 않고 125/1000=1/8로 정리했다.

• 소수가 끝나면 유한소수로 표시한다.
• 끝없이 이어지면서 같은 숫자나 묶음이 반복되면 반복 묶음을 표시한다.
• 반복 묶음이 한 자리인지 두 자리 이상인지에 따라 10, 100 등의 곱을 정한다.

표와 문장으로 바뀐 문제

다음 문제에서는 식이 아니라 표가 제시되었다.

분수	소수 전개
1/8	0.125
2/11	0.181818…
7/20	0.35

학생은 숫자만 비교하지 않고 각 소수에 ‘끝남’ 또는 ‘반복됨’을 적었다. 이어 문장형 문제인 “분모를 약분한 뒤 2와 5만으로 이루어져 있으면 어떤 소수인가?”에도 답했다. 1/8과 7/20은 약분한 분모가 각각 8과 20이므로 유한소수이고, 2/11은 분모에 11이 남아 순환소수라고 설명했다. 표에서 소수로 시작해 분수의 분모 조건으로 방향이 바뀌었지만, 반복 여부를 먼저 표시하는 판단은 그대로 사용했다.

힌트 없이 다시 세운 기준

수업의 새 문제는 13/30을 소수로 나타내고, 소수점 아래 6번째 숫자를 묻는 것이었다. 학생은 먼저 13÷30을 계산해 0.43333…이라고 쓴 뒤, 3이 반복되므로 순환소수라고 표시했다. “소수점 아래 첫 숫자는 4이고, 그다음부터 3이 반복되므로 6번째 숫자도 3”이라고 이유를 말한 다음, 0.43333…을 13/30으로 되돌려 계산해 분수와 소수 전개가 일치하는지 검산했다.

이제 학생은 계산을 시작하기 전에 반복 묶음의 길이를 먼저 정한다. 신서동과 태왕메트로시티 생활권에서 진행한 신서동과외 수업의 핵심은 더 많은 문제를 푸는 것이 아니라, 순환소수의 모양을 읽고 그에 맞는 곱셈을 선택하는 장면을 스스로 재현한 데 있었다. 다음 신서동중2수학과외에서도 학생은 새로운 소수가 나오자 도움 없이 ‘끝나는가, 반복되는가, 반복 단위는 몇 자리인가’를 먼저 적었다.