동호동 고3수학과외

로그식의 답을 좁히는 경계선의 역할

동호동 생활권의 도서관에서 6월 모의평가 오답을 다시 펼친 학생은 정답보다 먼저 자신이 적은 정의역 줄을 확인했다. 문제는 밑이 x-1인 로그가 포함된 식의 가능한 x의 범위를 묻고 있었다. 학생은 처음부터 함수값을 계산하지 않고, 밑과 진수의 조건을 따로 적으려 했다. 이 판단 자체는 적절했지만, 경계에서 결론이 바뀌는지를 확인하는 순간 풀이의 약점이 드러났다.

오답에서 거꾸로 찾아낸 한 줄

학생이 적은 식은 다음과 같았다.

log_x-1((x-2)/(x+1))

풀이 중 학생은 진수가 양수가 되는 구간을 찾은 뒤, “x>2 또는 x<-1”이라고 썼다. 여기까지는 부호표에 따른 결과다. 그러나 곧바로 밑의 조건을 “x-1>0” 하나로만 처리해 x>1을 겹쳤고, 최종 답을 x>2로 적었다. 답 자체는 우연히 맞았지만, 오답 복기에서 중요한 문제는 결론이 아니라 밑이 1이면 로그가 정의되지 않는다는 조건을 빠뜨린 최초의 줄이었다.

특히 x=2는 진수가 0이 되는 동시에 밑이 1이 되는 경계다. 학생은 일반적인 양수 조건을 경계값에도 그대로 적용하고 있었다. 반대로 x=1은 밑이 0이고, x=-1은 분모가 0이므로 각각 별도로 제외해야 한다. 유형명을 가린 채 풀이를 다시 읽게 하자, 학생은 이것이 단순한 부호 계산 문제가 아니라 로그의 정의조건을 경계마다 대조하는 문제임을 찾아냈다.

조건을 두 줄로 분리한 뒤

교정은 한 가지 행동으로 제한했다. 학생은 식 옆에 먼저 밑의 조건을 썼다.

• x-1>0, x-1≠1 → x>1, x≠2
• (x-2)/(x+1)>0 → x<-1 또는 x>2

그다음 두 결과의 교집합만 확인했다. x<-1인 구간은 밑 조건 x>1과 맞지 않고, x>2인 구간은 밑이 1이 되는 x=2를 이미 경계 바깥에 둔다. 따라서 정의역은 (2, ∞)이다. 여기서 x=2를 단순히 진수가 0이어서 제외했다고만 적지 않고, 밑 조건에서도 제외되는 특수값임을 표시하게 했다. 일반 구간과 예외값을 한 줄에 섞지 않은 것이 핵심이었다.

동호동과외에서 이 장면을 복기할 때도 새로운 공식이나 검산법을 추가하지 않았다. 틀린 결론을 고치는 대신, 결론이 시작된 정의조건 줄만 찾아 분리했다. 시간이 부족한 상황에서도 밑의 조건과 진수의 조건을 각각 적는 행동을 유지할 수 있는지가 기준이었다.

경계 하나가 사라졌을 때의 변화

같은 수치를 반복하지 않도록 문제의 구조를 바꾸었다. 이번에는

log_x+1((2-x)/(x-3))

의 정의역을 구하게 했다. 학생은 직전 문제의 답 x>2를 기억해 적용하지 않고, 먼저 밑과 진수를 다시 분리했다.

• x+1>0, x+1≠1 → x>-1, x≠0
• (2-x)/(x-3)>0 → x<2 또는 x>3

부호가 바뀌는 지점은 -1, 0, 2, 3이다. 이 중 -1은 밑이 0이 되는 지점, 0은 밑이 1이 되는 지점, 2는 진수가 0이 되는 지점, 3은 분모가 0이 되는 지점이다. 조건을 겹치면 정의역은 (-1, 0) ∪ (0, 2) ∪ (3, ∞)가 된다. 이전 문제와 달리 밑 조건이 진수의 양수 구간을 일부만 잘라 내므로, 하나의 구간으로 합치면 안 된다.

학생은 마지막으로 중간식 한 줄을 가린 상태에서 이 결론을 재구성했다. 먼저 “밑은 양수이고 1이 아니어야 한다”는 근거를 말한 뒤, 진수의 부호표를 그리고, -1·0·2·3을 각각 원래 로그식에 대입해 제외 이유를 확인했다. 별도의 힌트 없이 경계값을 따로 분류하고 구간을 교집합으로 좁혔으므로, 정의역의 판단이 숫자나 익숙한 유형에 의존하지 않고 유지되는지 확인할 수 있었다.

이번 사건에서 남은 기준은 간단했다. 구간을 정한 뒤 끝내지 말고, 경계값을 원래 로그의 정의조건에 다시 대입한다.