동호동 고1수학과외
동호동 고1수학과외에서 행렬 명제의 반례를 찾은 과정
행렬 문제에서 함지원 학생은 두 행렬의 대응 관계를 확인하기 전에 익숙한 공식부터 적용했다. 한 성분만 비교한 뒤 전체 행렬의 성질이 같다고 판단하면서, 나머지 성분에 나타난 차이를 놓쳤다.
한 성분의 일치가 전체 판단이 되지 않았던 이유
교사는 행렬을 숫자의 묶음으로만 보지 않고, 각 성분이 행과 열의 위치를 함께 가진다는 점에 주목하게 했다. 학생은 입력 행렬과 결과 행렬의 대응 위치를 표시하며, 주장한 명제가 모든 성분에 적용되는지 확인했다.
한 위치에서 맞는 결과가 나와도 행렬 전체의 등식이나 성질이 증명된 것은 아니다.
이후 학생은 직접 만든 간단한 행렬을 대입해 명제가 깨지는 위치를 찾았다. 예를 들어
A＝[1 0; 0 1], B＝[0 1; 1 0]
으로 두면 AB와 BA는 같지만, 임의의 행렬에서 곱셈 순서를 바꾸어도 항상 같다고 결론 내릴 수는 없다. 학생은 한 사례의 성립과 모든 경우의 성립을 구분하며, 반례가 하나라도 있으면 명제를 일반화할 수 없다는 기준을 세웠다.
행렬 표현을 바꾸어도 같은 판단을 유지하기
다음 문제에서는 숫자 배열 대신 좌석 배치표를 행렬로 표현하고, 행은 시간대, 열은 좌석 구역으로 해석했다. 이번에는 특정 성분을 찾는 데서 멈추지 않고, 질문이 요구한 행과 열의 위치를 먼저 확인한 뒤 해당 성분을 읽었다. 표현이 표에서 행렬로 바뀌어도 위치 대응을 기준으로 판단하는 연습이었다.
새로운 곱셈 문제에서의 검증
마지막에는 두 행렬의 곱을 계산한 뒤 결과의 크기를 먼저 확인했다. 첫 행렬이 2×3, 둘째 행렬이 3×2라면 곱은 2×2가 되어야 하므로, 계산 결과의 행과 열 개수가 맞는지로 풀이를 검증했다. 앞선 반례 찾기와 달리 이번에는 특정 숫자를 다시 넣는 대신 연산 가능한 행렬의 차수와 곱셈 순서를 확인해, 성분 누락 없이 답을 완성했다.