대구혁신도시 중3수학과외

대구혁신도시 중3수학과외에서 살펴본 제곱식의 경계

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답보다 먼저 확인한 풀이 흔적

문제는 다음과 같았습니다.

(2x-5)²을 전개하여 간단히 하시오.

학생은 문제의 식에서 ‘제곱’을 표시한 뒤 다음처럼 적었습니다.

(2x-5)² = (2x)²-5² = 4x²-25

계산 자체인 (2x)²=4x², 5²=25는 맞았습니다. 하지만 이 식을 적는 순간, 괄호 안의 두 항이 서로 곱해지는 부분을 확인하지 않았습니다. 특히 더하기 꼴에서만 가운데 항이 생긴다고 생각하여, 부호가 바뀐 식에서는 가운데 항을 지워도 된다고 판단한 것입니다.

이것이 최종 계산 실수보다 먼저 생긴 오류였습니다. (2x-5)²은 두 항의 합을 제곱한 식이 아니라는 이유로 구조가 사라지는 것이 아닙니다. 실제로는 같은 두 항을 각각 곱하는 네 항을 만들어야 합니다.

빠진 한 부분만 다시 펼쳐 보기

교정에서는 풀이 전체를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 빠뜨린 곱만 되살렸습니다.

(2x-5)²=(2x-5)(2x-5)

• 첫째 항끼리: (2x)(2x)=4x²
• 서로 다른 항의 곱: (2x)(-5)=-10x
• 반대 순서의 곱: (-5)(2x)=-10x
• 둘째 항끼리: (-5)(-5)=25

따라서

(2x-5)²=4x²-10x-10x+25=4x²-20x+25

학생이 처음 계산한 4x²와 -25를 무조건 버리게 하지는 않았습니다. 다만 두 항 사이의 곱이 두 번 생긴다는 사실과, 음수끼리 곱하면 양수가 된다는 점만 바로잡았습니다. 이 식에서 ‘가운데 항을 넣을지 말지’는 외운 부호가 아니라 괄호를 두 번 곱해 확인하는 기준으로 결정했습니다.

표현을 바꾼 식에서 같은 구조 찾기

이후에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 항의 순서와 부호가 달라진 식을 제시했습니다.

(-m+2n)²을 전개하시오.

학생은 처음에 ‘앞 항이 음수이므로 전체 결과도 음수일 것’이라고 말했지만, 이번에는 곧바로 식을 두 괄호로 바꾸어 적었습니다.

(-m+2n)²=(-m+2n)(-m+2n)

• (-m)(-m)=m²
• (-m)(2n)=-2mn
• (2n)(-m)=-2mn
• (2n)(2n)=4n²

그러므로 결과는 m²-4mn+4n²입니다. 이번에는 항의 순서가 ‘음수 항, 양수 항’으로 바뀌었지만, 제곱된 각 항과 두 번 나타나는 서로 다른 항의 곱을 따로 기록했습니다. 식을 (2n-m)²처럼 읽을 수 있는 상황에서도 먼저 실제 괄호를 두 개로 써서 같은 기준을 적용해야 한다고 설명했습니다. 다른 공식을 추가하지 않고, 두 항을 빠짐없이 곱하는 구조만 확인했습니다.

힌트 없이 진행한 마지막 확인

마지막에는 풀이 순서나 중간 표시를 알려 주지 않고 다음 문제를 건넸습니다.

(3p-q)²을 전개하고, p=2, q=1을 대입하여 원래 식과 결과를 비교하시오.

학생은 먼저 (3p-q)(3p-q)로 바꾼 뒤,

9p²-3pq-3pq+q²=9p²-6pq+q²

라고 설명했습니다. 이어 p=2, q=1을 대입하여 원래 식은 (6-1)²=25, 전개한 식은 9×4-6×2×1+1=25라고 계산했습니다.

학생은 “가운데 두 곱은 항의 순서만 다를 뿐 각각 생기므로 하나만 쓰면 안 되고, 부호는 실제 곱에서 정한다”고 풀이 이유를 말했습니다. 전개 전후의 값이 같다는 검산까지 스스로 확인하면서, (a+b)²의 구조가 부호와 항의 순서가 달라져도 유지되는지 판단하는 기준을 독립적으로 재현했습니다.

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