대구혁신도시 고등수학과외
대구혁신도시 고등수학과외에서 함수 단원을 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 부분은 식만 보고 정의역과 치역을 따로 외우는 습관이다. 대구일과학고등학교와 강동고등학교 학생의 풀이를 살펴보면, 이차함수의 그래프를 그릴 수 있어도 문제에 제시된 첫 조건을 끝까지 반영하지 못해 치역을 잘못 정하는 장면이 나타난다. 함수 \(f(x)=x^2-7x+6\)을 이용해 식, 그래프, 입력값과 출력값이 어떻게 연결되는지 확인했다.
첫 조건이 사라진 순간
문제에는 먼저 정의역 조건이 밑줄로 제시되어 있었다. 예를 들어 \(x\in\mathbb{R}\)이라면 모든 실수를 입력할 수 있다는 뜻이다. 학생은 이 문장을 확인한 뒤 식을 보았지만, 곧바로 “위로 열린 이차함수이므로 치역은 양수 전체일 것”이라고 적었다. 여기서 첫 오류가 생겼다. \(f(0)=6\), \(f(1)=0\)처럼 실제 함수값을 일부 계산했음에도 꼭짓점보다 아래로 내려갈 수 있다는 점을 확인하지 않고 치역 후보를 확정한 것이다.
식을 완전제곱으로 바꾸면
\(f(x)=x^2-7x+6=(x-\frac{7}{2})^2-\frac{25}{4}\)
가 된다. 정의역이 모든 실수이므로 \(x=\frac{7}{2}\)도 입력할 수 있고, 이때 함수값은 \(-\frac{25}{4}\)이다. 따라서 그래프의 가장 낮은 점은 \((\frac{7}{2},-\frac{25}{4})\)이며 치역은 \(y\ge -\frac{25}{4}\)이다. 0보다 작은 함수값도 가능하므로 ‘치역은 양수’라는 판단은 식의 일부 모양만 보고 내린 결론이었다.
밑줄 조건을 풀이의 출발점으로 되돌리기
교정할 때는 계산을 더 많이 시키기보다 첫 줄을 다시 읽게 했다. 정의역이 정해지면 그 안에서 꼭짓점의 x좌표가 허용되는지 먼저 묻고, 허용된다면 그 점의 y좌표를 최솟값 또는 최댓값으로 판단한다. 이후 그래프의 방향을 확인한다. 이 함수는 계수 \(1\)이 양수라 위로 열리며, 꼭짓점이 정의역 안에 있으므로 꼭짓점의 함수값이 치역의 시작점이 된다.
학생은 처음 풀이에서 적었던 ‘양수 전체’를 지우고, 꼭짓점의 위치와 정의역의 범위를 연결해 다시 작성했다. 그래프를 대략 그린 뒤 x축 아래에서 꼭짓점이 나타나는지 살펴보자 계산 결과와 그림이 일치했다. 정의역과 치역은 각각 입력 가능한 x의 범위와 그 입력에서 실제로 나오는 y의 범위라는 점도 함께 정리했다.
조건을 바꾼 새 문제
이전 풀이를 보지 않고 \(g(x)=x^2-9x+14\), \(1\le x\le6\)을 풀게 했다. 먼저 정의역이 모든 실수가 아니라 닫힌 구간이라는 사실에 표시하도록 했다. 꼭짓점의 x좌표는 \(\frac{9}{2}\)로 구간 안에 있으므로
\(g(\frac{9}{2})=-\frac{25}{4}\)
가 최솟값이다. 양 끝에서는 \(g(1)=6\), \(g(6)=-4\)가 나온다. 따라서 치역은 \(-\frac{25}{4}\le y\le6\)이다. 이번에는 그래프가 위로 열려도 정의역이 제한되면 치역의 끝값이 양 끝점에서 결정될 수 있다는 점까지 스스로 선택했다.
값을 대입해 그래프를 검증하기
마지막에는 답을 바로 확정하지 않고 대표 입력값을 대입했다. 원래 함수에서 \(x=0,1,3,\frac{7}{2},7\)을 넣으면 각각 \(6,0,-6,-\frac{25}{4},6\)이 된다. \(x=3\)과 \(x=4\)는 꼭짓점 양옆에 있고 함수값이 각각 \(-6\), \(-6\)으로 대칭을 이룬다. 그래프에서 꼭짓점이 x축 아래에 있고 양쪽으로 올라가는 모습도 확인된다. 이 검산은 정의역을 잘못 읽었을 때 생기는 치역 오류를 빠르게 발견하게 해 준다.
식의 모양만 보고 치역을 정하지 말고, 먼저 허용된 입력의 범위를 확인한 뒤 그 범위에서 실제 그래프가 만드는 높이를 찾는다.
자주 묻는 질문
- 정의역이 모든 실수이면 꼭짓점은 항상 사용할 수 있나요?
꼭짓점의 x좌표가 실수이므로 사용할 수 있다. 다만 정의역이 구간이나 조건식으로 제한되면 포함 여부를 따져야 한다. - 이차함수의 치역은 늘 꼭짓점에서 시작하나요?
정의역에 꼭짓점이 포함될 때 그렇다. 꼭짓점이 범위 밖이면 구간의 끝점에서 치역의 최솟값이나 최댓값이 정해질 수 있다. - 대표값 대입만으로 치역을 증명할 수 있나요?
대표값은 그래프와 계산의 오류를 찾는 검산 방법이다. 전체 치역은 완전제곱식, 그래프의 방향, 정의역 조건을 함께 사용해 판단한다. - 음수 함수값이 나오면 치역을 잘못 구한 것인가요?
그렇지 않다. \(f(3)=-6\)처럼 실제 입력에서 음수가 나오면 치역에 음수 구간이 포함될 수 있다.