대구불로동 중1수학과외
수직선의 한 칸에서 시작한 절댓값 비교
대구불로동 불로중학교가 포함된 생활권에서 중1 수학 풀이를 살펴보던 중, 학생이 절댓값과 수의 대소를 함께 묻는 문제에서 적어 둔 한 줄을 다시 확인했다. 문제는 다음과 같았다.
수직선 위의 세 점 A, B, C의 위치가 각각 -3, 1, 3일 때, 보기 중 옳은 것을 고르시오.
학생은 공책에 |-3| < |1| < |3|이라고 썼다. 계산 결과만 보면 3, 1, 3이므로 첫 부등호가 맞지 않는다. 그러나 오류는 마지막 계산에서 생긴 것이 아니었다. 학생은 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크다는 사실을 절댓값의 비교에도 그대로 적용하고 있었다.
틀린 줄을 거꾸로 따라가다
학생에게 숫자를 다시 계산하게 하지 않고, 각 수가 0에서 얼마나 떨어져 있는지 표시하게 했다. -3은 0에서 왼쪽으로 세 칸, 1은 오른쪽으로 한 칸, 3은 오른쪽으로 세 칸 떨어져 있었다. 따라서 절댓값은 부호를 없애는 기호가 아니라 0으로부터의 거리를 나타낸다는 점을 풀이 옆에 적었다.
- -3의 절댓값은 3
- 1의 절댓값은 1
- 3의 절댓값은 3
이제 절댓값만 비교하면 3, 1, 3이므로 |-3| > |1|, |-3| = |3|이다. 원래 수의 대소와 절댓값의 대소를 한 줄에 섞지 않고, 먼저 수직선의 위치를 확인한 뒤 거리를 비교하도록 풀이 순서를 고쳤다.
교정 직후에는 조건의 순서를 바꾼 문제를 제시했다.
수직선에서 점 P는 -4, 점 Q는 2에 있다. P와 Q 중 0에서 더 먼 점을 고르고, 두 수의 대소도 말하여라.
학생은 먼저 -4와 2를 비교해 -4 < 2라고 썼다. 여기까지는 수직선의 왼쪽과 오른쪽을 본 판단이었다. 이어서 두 점의 거리를 각각 표시하여 |-4|=4, |2|=2라고 적고, 0에서 더 먼 점은 P라고 설명했다. 같은 수를 대상으로도 ‘수 자체의 크기’와 ‘0에서 떨어진 거리’를 구별해 적은 것이다.
식이 아닌 온도표로 바꿔 보기
다음 문제는 식이나 보기 대신 온도표로 제시했다.
| 시각 | 온도 |
|---|---|
| 아침 | -2℃ |
| 낮 | 5℃ |
| 밤 | -5℃ |
학생은 “가장 낮은 온도는 -5℃”라고 먼저 답했다. 그다음 질문을 바꾸어 “0℃에서 가장 먼 온도는 무엇인가?”라고 묻자, 이번에는 부호가 아니라 절댓값을 읽었다. |-2|=2, |5|=5, |-5|=5이므로 밤의 -5℃와 낮의 5℃가 0에서 같은 거리라고 적었다. 온도의 대소와 0에서의 거리를 각각 따로 판단한 점이 핵심이었다.
또 다른 적용에서는 분수 표현을 사용했다. 수직선에 -1/2, 1/4, 3/4를 표시하고 “가장 왼쪽인 수”와 “0에 가장 가까운 수”를 각각 찾게 했다. 학생은 가장 왼쪽인 수를 -1/2로, 0에 가장 가까운 수를 1/4로 구분했다. 절댓값을 분수의 부호만 지우는 절차로 끝내지 않고, 수직선에서 실제 거리를 확인해 판단했다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
검증 문제에서는 조건을 조금 바꾸었다.
세 수 a, b, c가 수직선 위에서 각각 -3, -1, 2의 위치에 있다. 가장 작은 수, 절댓값이 가장 큰 수, 절댓값이 가장 작은 수를 차례로 쓰고 이유를 설명하여라.
학생은 별도의 표시 없이 먼저 “수직선에서 가장 왼쪽인 -3이 가장 작은 수”라고 적었다. 이어서 절댓값을 |-3|=3, |-1|=1, |2|=2로 계산해 절댓값이 가장 큰 수는 -3, 가장 작은 수는 -1이라고 설명했다. 마지막으로 각 결과를 수직선에 대조하여 -3은 0에서 세 칸, -1은 한 칸, 2는 두 칸 떨어졌다고 검산했다.
이처럼 대구불로동과 불로 서한 이다음아파트가 있는 생활권의 학습 사례에서도 중요한 것은 정답을 빠르게 고르는 일이 아니었다. 대구불로동중1수학과외에서는 학생이 처음 수를 보았을 때 수직선의 위치와 0에서의 거리를 어떤 순서로 나누어 판단했는지까지 확인해야 한다. 이 학생은 원래 수의 대소, 절댓값의 대소, 0에서의 거리를 서로 다른 질문으로 분리해 스스로 재현했다.