대구불로동 고1수학과외
중복을 피하는 경우 분류
대구불로동의 한 고1 학생은 조건이 긴 경우의 수 문제에서 선택 순서와 배열 순서를 한꺼번에 세려 했다. 답의 크기는 그럴듯했지만, 같은 대상을 다른 순서로 센 경우와 아예 빠뜨린 경우를 구분하지 못했다.
중간식의 부호보다 먼저 확인한 선택 기준
학생은 가능한 대상을 빠르게 나열한 뒤 식을 세웠다. 그러나 ‘첫 번째로 고른 대상’과 ‘배치된 자리’를 같은 의미로 다루면서 일부 경우를 중복 계산했다. 핵심 오류는 계산 실수가 아니라 경우를 나누는 기준이 일정하지 않았다는 점이었다.
각 경우가 서로 겹치지 않고, 모든 가능성을 빠짐없이 포함하는가?
이 질문을 기준으로 학생은 경우를 ‘특정 대상을 선택했는가’에 따라 나누었다. 같은 기준으로 묶인 경우 안에서만 배열을 계산하자 중복된 항이 사라졌고, 빠진 경우도 확인할 수 있었다.
표현이 바뀐 문제에 기준 옮기기
다음 문제에서는 조건이 식이 아니라 표로 제시되었다. 학생은 표의 행을 선택 순서로 읽지 않고, 각 행을 하나의 경우로 해석한 뒤 선택 여부를 다시 표시했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 ‘조건을 만족하는 대상을 먼저 고르는가, 고른 뒤 순서를 정하는가’가 달라진 상황이었다.
- 선택 대상이 달라지는 경우를 먼저 분리한다.
- 각 경우 안에서 배열 순서를 센다.
- 서로 다른 경우가 같은 결과를 만들지 않는지 살핀다.
이 과정을 거치자 표로 주어진 조건도 경우 분류의 기준을 유지한 채 식으로 바꿀 수 있었다.
새 조건에서 빠진 경우 찾기
마지막에는 특정 대상이 반드시 포함된다는 조건을 제외하고, 두 대상이 함께 선택될 수 없다는 조건을 추가했다. 학생은 먼저 가능한 경우를 두 갈래로 나눈 뒤 각 갈래가 실제로 허용되는지 확인했다.
이때 학생은 계산 결과만 비교하지 않고, 각 분류가 원래 조건을 모두 반영하는지 문장으로 점검했다. 한 갈래에서 제외 조건을 놓친 흔적을 발견했고, 해당 경우를 삭제한 뒤 전체 경우가 중복 없이 정리되는지 다시 확인했다.
대구불로동 생활권의 대구지식산업작은도서관에서 복습할 때도 학생은 공식부터 찾기보다 ‘무엇을 기준으로 경우를 나눌 것인가’를 먼저 적는 습관을 유지했다.