연속함수의 합과 차, 성분별 연속성 확인하기

“함수의 합이 연속이므로 두 함수도 각각 연속이다.” 이 판단은 항상 성립하지 않습니다. 대구불로동과외 수업에서는 합과 차의 성질을 적용하기 전에 각 함수가 해당 점에서 연속인지 먼저 확인하도록 풀이 순서를 점검합니다.

역문제에서 드러난 판단의 한계

다음과 같은 함수쌍을 생각해 봅시다.

\(f(x)=\begin{cases}1,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}\), \(g(x)=\begin{cases}-1,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}\)

\(x=0\)에서 \(f\)와 \(g\)는 모두 연속이 아닙니다. 실제로

\(\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=1\ne f(0)=0\), \(\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=-1\ne g(0)=0\)입니다.

합이 연속이어도 성분이 연속이라는 뜻은 아니다

하지만 \(f(x)+g(x)=0\)이므로 \(f+g\)는 \(x=0\)에서 연속입니다. 따라서 “합이 연속이면 각 함수도 연속이다”라는 역방향 추론은 잘못입니다.

이 장면에서 오답 원인은 합의 성질 자체가 아니라, 정리의 조건과 결론을 거꾸로 적용한 데 있습니다.

정방향 성질의 정확한 적용

합과 차의 연속성

함수 \(f\)와 \(g\)가 \(x=a\)에서 각각 연속이면, 다음 함수들도 \(x=a\)에서 연속입니다.

• \(f+g\)
• \(f-g\)

이는

\(\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x)=f(a)\pm g(a)\)

이기 때문입니다.

조각함수에 적용하는 순서

예를 들어

\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<1\\2x,&x\ge1\end{cases}\), \(g(x)=x^2\)

의 \(x=1\)에서 \(f+g\)의 연속성을 확인해 보겠습니다.

\(f\)는

\(\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=2,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=2,\quad f(1)=2\)

이므로 \(x=1\)에서 연속입니다. \(g(x)=x^2\)도 모든 실수에서 연속입니다. 따라서 \(f+g\)는 \(x=1\)에서 연속입니다.

실제로

\[ (f+g)(x)= \begin{cases} x^2+x+1,&x<1\\ x^2+2x,&x\ge1 \end{cases} \]

이고, 좌극한과 우극한 및 함수값은 모두 \(3\)입니다.

학생 풀이를 고치는 기준

다음 세 질문을 순서대로 확인하면 비슷한 오류를 줄일 수 있습니다.

1. 각 함수가 문제의 점에서 연속인가?
2. 연속이라면 합 또는 차의 성질을 적용할 수 있는가?
3. 구하려는 대상이 각 함수인지, 합·차 함수인지 구분했는가?

대구고3수학과외에서 조각함수를 다룰 때도 먼저 좌극한, 우극한, 함수값을 비교한 뒤 성질을 사용합니다. 성질은 조건을 확인한 다음 적용해야 하며, 합이나 차의 연속성만으로 각 성분의 연속성을 결론 내릴 수는 없습니다.

최종 확인

두 함수가 \(x=a\)에서 연속이면 \(f+g\)와 \(f-g\)는 \(x=a\)에서 연속입니다. 그러나 \(f+g\) 또는 \(f-g\)가 연속이라는 사실만으로 \(f\)와 \(g\)가 각각 연속이라고 할 수는 없습니다.