봉덕동 중3수학과외
봉덕동 중3수학과외에서 확인한 ‘근호 밖으로 나가는 수’의 경계
봉덕동과외 수업에서 제곱근을 정리하던 중, 학생은 계산 자체보다 어떤 인수를 근호 밖으로 옮길 수 있는지에서 멈췄습니다. 봉덕동중3수학과외에서는 이 판단의 경계를 하나의 풀이 기록으로 확인했습니다. 교대역푸르지오트레힐즈가 있는 생활권이나 꿈꾸는도서관 인근에서 문제를 접했다면 다음과 같은 장면을 떠올릴 수 있습니다. 협성경복중학교와 경일여자중학교가 포함된 생활권의 학습 사례이지만, 특정 학교의 시험 경향을 말하는 것은 아닙니다.
학생이 처음 남긴 식에서 보인 기준
문제는 다음과 같았습니다.
√72를 근호 밖의 수가 더 이상 나갈 수 없도록 간단히 나타내시오.
학생은 먼저 72를 8×9로 나누어 적었습니다.
√72 = √(8×9) = 8√9 = 8×3 = 24
중간식에 표시한 부분을 따라가 보니, 학생은 9뿐 아니라 8도 통째로 근호 밖으로 옮긴 상태였습니다. 마지막에 24라고 쓴 것은 단순한 곱셈 실수라기보다, ‘피근수 안의 인수라면 밖으로 꺼낼 수 있다’고 판단한 결과였습니다.
여기서 가장 먼저 어긋난 지점은 8을 완전제곱인 인수인지 확인하지 않고 꺼낸 것입니다. 근호 밖으로 이동할 수 있는 것은 √(k²)처럼 제곱으로 묶이는 인수입니다. 8은 완전제곱수가 아니므로 그대로 밖으로 이동할 수 없습니다.
한 지점만 다시 고친 풀이
계산 전체를 처음부터 바꾸지 않고, 피근수 안에서 완전제곱인 인수만 다시 표시했습니다.
72 = 9×8 = 9×4×2 = 36×2
따라서
√72 = √(36×2) = √36×√2 = 6√2
이번에는 36을 완전제곱인 부분으로 선택했습니다. √36은 6이므로 밖으로 나올 수 있지만, 남은 2는 더 이상 제곱인수로 묶이지 않아 근호 안에 둡니다. 앞서 적은 8×9라는 분해 자체가 반드시 틀린 것은 아니지만, 그중 8을 밖으로 옮긴 행동만 잘못이었습니다.
- 밖으로 이동할 수 있는 인수: 1, 4, 9, 16, 25, 36처럼 제곱으로 나타나는 수
- 그대로 남겨야 하는 인수: 2, 3, 5, 6, 7, 8처럼 완전제곱이 아닌 수
- 피근수 전체가 완전제곱이면 근호가 사라짐: √49 = 7
예를 들어 √12를 √(4×3)으로 나누면 2√3입니다. 반면 √18은 √(9×2)에서 3√2가 됩니다. 두 경우 모두 ‘가장 먼저 완전제곱인 인수를 찾는다’는 같은 기준만 사용합니다.
표현을 바꾼 독립 문제
다음에는 인수를 곱셈으로 직접 제시하지 않고, 보기에서 근호 밖으로 나올 수 있는 수를 고르게 했습니다.
√242 = a√b로 나타낼 때, a가 될 수 있는 가장 큰 자연수를 구하고 b를 쓰시오.
학생은 242를 2×121로 나누어 보았습니다. 121은 11²이므로
√242 = √(121×2) = 11√2
라고 정리했습니다. 앞의 문제처럼 72를 다루지 않았고, 피근수의 배열도 달랐지만, 먼저 121이라는 완전제곱인 인수를 찾은 뒤 그 제곱근만 밖으로 옮겼습니다. 이번에는 ‘근호 안에서 가장 큰 완전제곱 부분을 찾는다’는 판단을 스스로 선택했습니다.
힌트 없이 확인한 마지막 장면
며칠 뒤 새 문제를 제시했습니다.
√300을 간단히 나타내고, 근호 밖으로 나온 수가 왜 더 이상 바뀌지 않는지 설명하시오.
학생은 별도의 표시나 안내 없이 300을 100×3으로 만들었습니다.
√300 = √(100×3) = 10√3
이어 “100은 10²이라서 10이 밖으로 나왔고, 남은 3에는 1보다 큰 완전제곱인수가 없으므로 더 꺼낼 수 없다”고 설명했습니다. 마지막으로 10을 다시 제곱하여 100을 만들고, 100×3=300이므로 처음 피근수와 일치한다고 검산했습니다. 정답만 말한 것이 아니라, 근호 안팎의 경계와 검산 근거까지 스스로 확인한 것입니다.