봉덕동 중2수학과외

경계에서 시작한 순환소수 분수 변환 수업

봉덕동과외 수업에서 학생은 순환소수를 분수로 바꾸는 문제의 정답보다 먼저, 어떤 식을 세워야 하는지에서 멈췄다. 봉덕동중2수학과외를 진행하며 협성경복중학교와 경일여자중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 살펴보던 중, 교대역푸르지오트레힐즈가 있는 생활권에서 자주 접하는 생활 속 수치 표현을 문제에 연결해 보았다. 특정 아파트나 도서관을 학생의 실제 이용 장소로 단정하지 않고, 생활권 자료만 배경으로 활용했다.

처음 적은 식에서 드러난 판단

문제에는 0.272727…을 분수로 나타내고, 그 분모가 어떤 조건을 만족하는지 설명하라는 내용이 있었다. 학생은 반복되는 숫자 27을 표시하고, 소수점 아래 두 자리마다 같은 수가 나온다는 점을 확인했다. 이어서

x=0.272727…
100x=27.272727…

이라고 적었다. 두 식을 세로로 맞춘 뒤 빼서 99x=27을 얻었고, x=27/99를 3/11로 약분했다. 여기까지는 계산을 보류하지 않고 끝까지 진행했지만, 다음 조건 문항에서 “분모에 2와 5 이외의 소인수가 없으면 유한소수”라는 문장을 읽고도 이를 모든 소수 표현에 그대로 적용했다.

학생이 처음 잘못 선택한 판단은 계산 결과가 아니라 문제의 소수가 유한소수인지 순환소수인지 확인하지 않은 채, 반복소수에 쓰는 식을 조건 구분 없이 적용한 것이었다. 예를 들어 0.34를 보고도 반복되는 수가 있다고 생각해 100x=34.34…처럼 적으려 했다. 소수점 뒤에 실제 반복 표시가 없다는 사실을 표시하지 않은 것이 출발점이었다.

한 줄만 고쳐 식 세우기

이미 맞았던 ‘반복되는 자리 수만큼 10의 거듭제곱을 곱한다’는 과정은 유지했다. 대신 식을 쓰기 전 소수 표현에 반복 표시가 있는지 먼저 괄호로 묶게 했다.

• 0.272727…은 27이 계속 반복되므로 x=0.272727…, 100x=27.272727…
• 0.34는 반복 표시가 없는 유한소수이므로 x=0.34, 100x=34
• 0.41666…은 처음 4가 반복되지 않고 6만 반복되므로 반복 구간을 분리해 식을 세움

학생은 0.41666…에서 곧바로 1000x를 쓰지 않고, 먼저 10x=4.1666…을 적어 반복되지 않는 한 자리를 없앴다. 그다음 100x=41.666…을 적어 두 식을 빼고 90x=37을 얻었다. 약분한 37/90의 분모를 확인하면서 2와 5만으로 이루어지지 않았으므로 유한소수가 될 수 없다는 점도 연결했다.

표현을 바꾼 독립 적용

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표와 조건으로 바꾸어 제시했다. 표의 한 칸에는 ‘소수점 아래 첫째 자리부터 반복’, 다른 칸에는 ‘소수점 아래 셋째 자리부터 반복’, 또 다른 칸에는 ‘반복 표시 없음’이라고 적었다. 학생은 각각을 순환소수, 혼합순환소수, 유한소수로 분류한 뒤 필요한 식의 이동 횟수를 표시했다.

이어 “기약분수의 분모가 2와 5만을 인수로 가질 때 원래 소수는 어떤 형태인가?”라는 방향을 뒤집은 질문을 주었다. 학생은 분모가 40인 7/40을 먼저 약분 상태로 확인하고, 40=2³×5이므로 유한소수라고 설명했다. 반대로 7/30은 30=2×3×5라서 3이 남으므로 유한소수가 아니라 순환소수라고 판단했다. 분모만 보고 판단하지 않고 기약분수인지 먼저 확인해야 한다는 조건도 덧붙였다.

힌트 없이 다시 확인한 장면

마지막 문제는 부호와 조건의 위치를 바꾼 형태였다. “-0.181818…을 기약분수로 나타내고, 그 분수가 유한소수로 다시 표현될 수 있는지 판단하라”는 문장을 읽은 학생은 음수 부호에 동그라미를 치고, 18이 두 자리 주기로 반복된다는 표시를 했다.

x=-0.181818…
100x=-18.181818…

학생은 두 식을 뺄 때 부호가 같다는 점을 직접 확인해 99x=-18, x=-2/11을 얻었다. 2/11은 기약분수이고 분모에 11이 남으므로 유한소수가 아니라고 설명했다. 이어 “반복되는 자리 수가 두 자리라서 100을 곱했고, 반복되지 않는 앞자리가 있었다면 그 자리부터 먼저 없앴을 것”이라고 풀이 이유를 말했다. 계산 검산으로 -2/11을 소수로 되돌려 -0.181818…이 되는지도 확인했다. 도움 없이 경계와 예외 조건을 나눈 뒤, 식과 분모 조건을 함께 검산한 것이다.