봉덕동 고등수학과외

봉덕동 고등수학과외에서는 복소수를 계산할 때 식을 빠르게 전개하는 것보다, 어떤 수를 실수부와 허수부로 나누어 보고 있는지 먼저 확인하는 연습을 진행합니다. 협성고등학교와 경일여자고등학교 학생의 풀이에서도 같은 식을 다루더라도 정의역이 실수인지 복소수인지에 따라 설명의 출발점이 달라질 수 있습니다. 생활권의 도서관이나 교대역 주변 학습 공간에서 풀이를 정리할 때도 이 구분을 글로 남기게 합니다.

복소수 계산은 정의역 확인에서 시작한다

학생에게 14x²-x+1225를 제시하자 처음에는 “실수부와 허수부를 나누면 됩니다”라고 말했습니다. 그러나 이 식만 놓고 보면 x가 실수인지 복소수인지 정해져 있지 않습니다. x가 실수라면 식 전체도 실수이고 허수부는 0입니다. x가 복소수라면 x를 a+bi로 둔 뒤에야 두 부분을 나눌 수 있습니다.

여기서 풀이가 실제로 어긋난 순간은 학생이 식을 전개하던 중간 줄이었습니다. x=a+bi라고 써 놓고도 x²=a²-b²+2abi라는 관계를 적용하지 않은 채, 14x²를 실수항처럼 계산했습니다. 그 결과 14a²- a+1225만 남겼고, 허수항 (28a-1)bi를 빠뜨렸습니다. 실수부와 허수부를 구분하겠다고 말했지만, 분리 조건을 계산식에 반영하지 못한 것입니다.

첫 오류를 그대로 되짚어 고치기

풀이를 지우지 않고 오류가 생긴 줄 아래에 다음 순서만 덧붙였습니다.

x=a+bi
x²=(a+bi)²=a²-b²+2abi
14x²-x+1225
=14(a²-b²+2abi)-(a+bi)+1225
={14(a²-b²)-a+1225}+{(28a-1)b}i

이제 앞의 괄호가 실수부, 뒤의 계수가 허수부라는 점을 표시합니다. 어떤 복소수와 같다는 조건이 주어질 때에만 양쪽의 실수부끼리, 허수부끼리 비교할 수 있다는 것도 함께 확인했습니다. 예를 들어 이 식이 실수 0과 같다면 다음 두 조건을 동시에 만족해야 합니다.

14(a²-b²)-a+1225=0, (28a-1)b=0

학생은 처음에 두 번째 조건을 빠뜨렸지만, 이번에는 허수부가 사라지는 이유를 별도로 적은 뒤 다음 줄로 넘어갔습니다.

표현이 바뀌어도 혼자 선택하는 연습

다음 문제에서는 전개식을 주지 않고 w=2-3i와 14w²-w+1225만 제시했습니다. 학생은 먼저 w의 실수부가 2, 허수부가 -3이라고 기록한 뒤 계산했습니다.

w²=(2-3i)²=-5-12i이므로

14w²-w+1225=14(-5-12i)-(2-3i)+1225=1153-165i

가 됩니다. 이전 풀이를 보지 않고도 제곱에서 허수항이 생긴다는 근거를 선택했는지 확인하는 장면입니다. 이 문제에서는 결과를 0으로 놓지 않았으므로 실수부와 허수부를 각각 0으로 두면 안 된다는 점도 구별했습니다.

복소평면에서 마지막 확인

계산 결과 1153-165i는 복소평면에서 좌표 (1153,-165)를 뜻합니다. 대수식의 실수부와 허수부가 각각 1153, -165인지 좌표로 다시 읽어 보게 했습니다. 좌표의 세로값을 165로 잘못 적으면 1153+165i가 되어 원래 식과 다른 수가 됩니다.

또한 원식에 w=2-3i를 직접 대입해 같은 결과가 나오는지 재계산했습니다. 대수식에서 얻은 실수부·허수부와 복소평면 좌표가 일치하고, 원식 재대입 결과도 같을 때 풀이를 마무리합니다.

자주 묻는 질문

복소수 식이면 항상 실수부와 허수부를 둘 다 구하나요?

식의 값을 표현하거나 두 복소수를 비교할 때 유용합니다. 다만 x가 실수로 제한되어 있다면 허수부를 새로 만들 필요가 없습니다.

복소수끼리 같다고 할 때 무엇을 비교하나요?

실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 비교합니다. 한쪽만 맞으면 같은 복소수라고 할 수 없습니다.

허수부의 부호는 어떻게 확인하나요?

i²=-1을 먼저 적용하고, 마지막에 i의 계수만 따로 읽습니다. 음수 허수부는 복소평면에서 아래쪽 좌표가 됩니다.

x가 실수인지 복소수인지 모르면 어떻게 하나요?

문제의 정의역과 조건을 먼저 확인합니다. 정해지지 않았다면 경우를 나누어 설명해야 하며, 복소수로 둘 때는 x=a+bi를 명시합니다.