봉덕동 중1수학과외

봉덕동 생활권에서 확인한 최대공약수의 경계

봉덕동과외 수업에서 학생은 협성경복중학교와 경일여자중학교가 포함된 생활권의 학습 자료에 나온 문제를 풀었다. 문제는 84개와 126개를 각각 같은 크기의 묶음으로 나눌 때 가능한 가장 큰 묶음 수를 구하고, 그 결과를 소인수의 곱으로 나타내라는 내용이었다.

학생의 한 줄에서 시작된 오답

학생은 84를 2×2×3×7, 126을 2×3×3×7로 정확히 분해했다. 그러나 두 수에 공통으로 있는 인수를 찾으면서 2, 3, 7을 모두 한 번씩 곱하지 않고, 각 수에 들어 있는 인수를 전부 모아 2×2×3×3×7이라고 적었다. 계산 결과를 252라고 쓴 순간, 가장 큰 공통 묶음의 범위를 이미 넘어선 상태였다.

오류는 곱셈 계산이 아니라 공통으로 사용할 인수의 개수를 정하는 첫 판단에서 생겼다. 한 수에만 있는 인수나 어느 한쪽에 더 많이 나타나는 인수까지 가져오면, 그 곱은 두 수를 동시에 나눌 수 있는 최대값이 될 수 없다.

공통으로 남길 수 있는 횟수만 표시하기

학생은 방금 적은 두 분해식에 밑줄을 다시 그었다. 84의 분해에서 2는 두 번, 3과 7은 한 번씩이고, 126에서는 2가 한 번, 3이 두 번, 7이 한 번이었다. 따라서 두 수에 공통으로 남길 수 있는 2는 한 번뿐이며, 3과 7도 각각 한 번뿐이라고 표시했다.

최대공약수 = 2×3×7 = 42

교정 뒤에는 이미 맞게 해 놓은 소인수분해를 버리지 않고, 각 인수가 양쪽에 몇 번씩 나타나는지만 비교했다. 42를 84와 126에 나누어 보니 각각 2와 3이 되어 두 수 모두 나누어떨어졌다. 반면 학생이 처음 적은 252는 84보다 크고 84를 나눌 수도 없었다. 이 비교로 ‘공통 인수는 양쪽에서 실제로 확보되는 횟수까지만 쓴다’는 경계를 확인했다.

표현을 바꾼 문제에서 다시 연결하기

다음 문제는 숫자를 단순히 바꾼 것이 아니라, 두 수를 소인수의 곱이 아닌 다른 곱셈 형태로 제시했다. “세 묶음에 각각 2×2×5개, 네 묶음에 각각 2×3×5개가 있다. 두 묶음의 수를 모두 나눌 수 있는 가장 큰 수를 소인수의 곱으로 나타내라”는 문장이었다.

학생은 먼저 주어진 곱을 수로 바꾸지 않고 조건을 표시했다.

• 첫 번째 수: 2×2×5 = 20
• 두 번째 수: 2×3×5 = 30
• 양쪽에 모두 있는 인수: 2와 5

그 뒤 최대공약수를 2×5=10으로 적었다. 여기서 중요한 점은 문장 속 ‘모두 나눌 수 있는 가장 큰 수’를 먼저 읽고, 각 곱에 실제로 들어 있는 공통 인수만 선택했다는 것이다. 10×2=20, 10×3=30으로 되돌려 계산하자 원래 제시된 두 수가 그대로 나왔다. 2를 한 번 더 넣으면 20이 되지만 30을 나누지 못하므로, 그 선택은 최대공약수의 조건을 만족하지 않는다고 설명했다.

힌트 없이 칠판을 가린 뒤의 재현

수업 끝부분에는 앞의 풀이를 가리고 “48과 72를 소인수의 곱으로 나타낸 뒤 최대공약수를 구하고, 왜 더 크게 만들 수 없는지 말해 보라”고 했다. 학생은 도움 없이 48을 2×2×2×3, 72를 2×2×2×3×3으로 적었다.

학생은 두 식을 나란히 보며 2는 세 번, 3은 한 번까지 공통이라고 표시했다.

최대공약수 = 2×2×2×3 = 24

이어 24×2=48, 24×3=72라고 검산하고, 2를 네 번 쓰거나 3을 두 번 쓰면 한쪽 분해식에 없는 인수가 추가되므로 두 수 모두를 나눌 수 없다고 설명했다. 처음의 252처럼 공통 범위를 넘겨 곱하지 않고, 이번에는 조건을 먼저 확인한 뒤 인수의 횟수를 정해 답을 구성했다.

이 과정을 통해 봉덕동중1수학과외에서는 최대공약수를 계산 결과만으로 판단하지 않고, 소인수분해에서 양쪽에 실제로 겹치는 인수와 그 횟수를 근거로 세우는 풀이를 이어 갔다.