테크노폴리스 중2수학과외

단항식 나눗셈에서 지수 차를 확인하는 순간

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첫 줄에서 이미 달라진 판단

학생은 다음 식을 공책에 적었다.

18a⁵b² ÷ 6a²b

먼저 18÷6을 계산해 3을 적고, a의 지수는 5-2, b의 지수는 2-1로 표시했다. 이어서 3a³b를 답으로 썼다. 이 과정에서 계수는 정확히 나누었고, 문자별로 같은 밑을 찾아 지수 차를 계산한 것도 맞았다. 학생은 답을 원래 식에 다시 곱해 보려 했지만, 그 전에 다음 식을 같은 방식으로 처리했다.

12a⁴b ÷ 3c²

이번에도 계수 12÷3만 먼저 계산한 뒤 a⁴와 c²를 보고 “4-2이므로 a²”라고 적었다. 최초의 어긋남은 지수를 잘못 뺀 계산 결과가 아니었다. 서로 다른 문자 c와 a를 같은 밑처럼 취급한 것이 문제의 시작이었다. 지수의 차는 같은 밑이 나눠질 때만 사용할 수 있는데, 학생은 문자 종류를 확인하기 전에 지수부터 비교했다.

맞았던 계산은 두고, 비교 순서만 고치다

교정에서는 계수 나누기와 같은 문자끼리 정리하던 과정은 그대로 유지했다. 식을 한 줄씩 나누어 쓰게 했다.

12a⁴b ÷ 3c²
= (12÷3) × a⁴ × b ÷ c²

그다음 학생은 a, b, c 아래에 각각 다른 표시를 붙였다. a와 c는 표시가 다르므로 지수 차를 만들 수 없고, b는 분모에 같은 문자가 없으므로 그대로 남는다고 판단했다. 따라서 정리한 식은 4a⁴b/c²가 된다. “지수의 숫자가 보이면 빼는 것이 아니라, 먼저 밑이 같은지 찾아야 한다”고 학생이 직접 문장으로 적었다.

부호가 들어간 식에서도 같은 판단을 유지했다.

-15x³y² ÷ 5x²z = -3xy²/z

학생은 -15÷5의 부호를 먼저 확인해 음수로 표시하고, x끼리만 3-2를 계산했다. y와 z는 밑이 서로 다르므로 지수를 빼지 않았다. 분모에 문자가 남아 있는 경우와 같은 문자가 위아래에 모두 있는 경우를 구분한 것이다.

표현을 바꾼 문제에서 경계를 다시 세우다

다음 문제는 식을 바로 계산하지 않고 문자 부분을 표로 옮기는 방식이었다.

분자	계수 -20	p3	q
분모	계수 4	p	r2

학생은 표를 보고 p만 위아래에 반복된 문자라고 표시했다. -20÷4=-5를 계산한 뒤 p의 지수 3-1=2를 적용하고 q와 r²는 그대로 두어 -5p²q/r²를 만들었다. 앞선 문제와 숫자와 문자의 위치가 달랐지만, “반복되는 밑만 지수 차를 구한다”는 기준을 먼저 세웠다.

질문 방향을 바꾼 문제도 이어졌다.

8m²n ÷ ( -2mn³)의 결과에서 음수가 되는 이유와 지수가 줄어드는 문자를 설명하시오.

학생은 답만 적지 않고, 계수는 8÷(-2)라서 음수이고 m은 2-1로 m이 남으며 n은 분모 지수가 더 커서 n^1-3으로 정리해야 한다고 설명했다. 이를 분모에 남기는 형태로 -4m/n²라고 썼다. 같은 밑이라도 분자 지수가 작으면 결과 문자를 분모 쪽에 둘 수 있다는 조건까지 확인했다.

힌트 없이 진행한 최종 검증

수업 끝에 새 식을 제시하고 아무 표시도 먼저 해 주지 않았다.

21u²v⁴ ÷ (-7u³w²)

학생은 첫 줄에서 “u만 같은 밑이고 v와 w는 다르므로 지수 차를 적용하지 않는다”고 말했다. 21÷(-7)=-3을 계산하고 u는 2-3이므로 u가 분모에 하나 남는다고 판단했다. v⁴는 분자에, w²는 분모에 그대로 두어 -3v⁴/(uw²)를 적었다.

검산할 때는 정리된 식에 분모의 단항식을 다시 곱해 계수의 부호, u의 개수, v와 w의 위치를 차례로 대조했다. 특히 u와 w를 같은 문자로 착각하지 않았는지 문자를 하나씩 읽었다. 도움 없이 같은 밑인지 확인하고, 그 뒤에만 지수 차를 적용하는 순서를 재현한 장면이었다. 이처럼 대구북구중2수학과외에서는 답보다 앞선 첫 판단과 검산 근거를 확인하며 식의 계산을 다룬다.