테크노폴리스 고3수학과외

끝점 하나가 해의 모양을 바꾼 삼각부등식 풀이

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실수 \(x\)가 \(0\le x\le2\pi\)를 만족할 때, \(\sin x+\cos x\ge1\)을 만족하는 \(x\)의 범위를 구하여라.

학생은 곧바로 \(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\frac{\pi}{4})\)로 바꾸고, \(\sin\theta\ge\frac1{\sqrt2}\)에서 \(\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{3\pi}{4}\)라고 적었다. 여기까지는 맞았지만, 이를 \(x\)의 구간으로 옮긴 뒤 답을 \(0\le x\le\frac{\pi}{2}\)로 끝냈다. 일반적인 한 주기의 해를 찾은 다음 원래 각의 범위 끝까지 대조하지 않은 것이다. 삼각함수 부등식에서 주기적인 해를 적은 뒤 정의역의 양 끝을 확인하지 않으면, 경계에서만 살아남는 해를 놓칠 수 있다.

잘못된 줄보다 먼저 확인할 것

오류가 시작된 곳은 계산이 아니라 각의 범위를 복원하기 전이었다. \(t=x+\frac{\pi}{4}\)라고 두면 \(0\le x\le2\pi\)에서 \(\frac{\pi}{4}\le t\le\frac{9\pi}{4}\)이다. 한 주기에서

\[ \sin t\ge\frac1{\sqrt2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{4}\le t\le\frac{3\pi}{4} \] 이지만, 주기성을 고려하면 \(t\in[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]\) 또는 \(t\in[\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4}]\)이다. 주어진 \(t\)의 범위에 들어오는 것은 첫 구간 전체와 두 번째 구간의 시작점뿐이다. 따라서

\[ x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\{2\pi\}. \]

학생에게는 풀이를 다시 길게 쓰게 하지 않고, 식 옆에 ‘변환 후 각의 범위’와 ‘끝점 대입’ 두 칸만 만들게 했다. 특히 \(x=2\pi\)를 원식에 넣으면 \(\sin2\pi+\cos2\pi=1\)이므로 부등식을 만족한다. 이 대입이 빠졌다면 구간 계산이 맞아 보여도 결론은 불완전하다.

각의 범위를 바꿔 경계의 역할을 시험하다

같은 숫자만 바꾸지 않기 위해 문제의 범위를 \( -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}\)로 바꾸었다. 식은 그대로 \(\sin x+\cos x\ge1\)로 두었다. 이번에는 \(t=x+\frac{\pi}{4}\)의 범위가 \(-\frac{\pi}{4}\le t\le\frac{7\pi}{4}\)가 된다. 조건을 만족하는 기본 구간 \([\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]\)만 들어오므로 답은 \(0\le x\le\frac{\pi}{2}\)이다.

학생은 앞 문제의 답을 기억해 옮기지 않고, 먼저 새 범위의 양 끝을 계산했다. \(x=-\frac{\pi}{2}\)에서는 \(-1\), \(x=\frac{3\pi}{2}\)에서는 \(-1\)이므로 끝점이 해에 포함되지 않는다는 것도 확인했다. 범위가 달라지면 같은 삼각부등식이라도 경계 후보가 달라진다는 점을 직접 구분한 셈이다.

힌트 없이 남은 판단

며칠 뒤에는 식의 모양까지 바꾸어 \( -\pi\le x\le\pi\)에서 \(\sin x-\cos x\ge0\)을 제시했다. 학생은 \(\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\frac{\pi}{4})\)로 바꾼 뒤, \(u=x-\frac{\pi}{4}\)의 범위를 먼저 \([-\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]\)로 적었다. 그다음 사인값이 음이 아닌 구간을 이 범위와 겹쳐 \(0\le u\le\frac{3\pi}{4}\)로 정리하고, \(x\)의 답을 \([\frac{\pi}{4},\pi]\)로 얻었다.

마지막으로 \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\pi\), 구간 내부의 \(x=\frac{\pi}{2}\)를 원식에 각각 대입했다. 세 값은 각각 \(0,\ 1,\ 1\)이었고, 범위 밖의 \(x=0\)에서는 \(-1\)이 나왔다. 학생은 새 식에서도 ‘치환한 각의 전체 범위 작성 → 주기 구간과 교집합 확인 → 끝점 원식 대입’의 순서를 스스로 지켰다. 결론에서 거꾸로 필요한 초기 각의 범위를 복원하는 판단이, 해설을 보지 않은 문제에서도 유지된 것이다.ાગ